[论文解读] Analytic functional calculus for two operators

V. G. Kurbatov, И. В. Курбатова+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 65被引用 5

一句话总结

本文通过涉及伪预解的围线积分，为两个算子发展了一种解析函数演算，实现了Sylvester方程解、算子微分方程脉冲响应以及函数演算微分的表示。主要贡献在于建立了谱映射定理，并给出了变换器及其微分的显式积分公式，通过基于预解的构造，将经典函数演算推广至无界和多值算子。

ABSTRACT

Properties of the mappings \begin{align*} C&\mapsto\frac1{(2πi)^2}\int_{Γ_1}\int_{Γ_2}f(λ,μ)\,R_{1,\,λ}\,C\, R_{2,\,μ}\,dμ\,dλ, C&\mapsto\frac1{2πi}\int_Γg(λ)R_{1,\,λ}\,C\, R_{2,\,λ}\,dλ\end{align*} are discussed; here $R_{1,\,(\cdot)}$ and $R_{2,\,(\cdot)}$ are pseudo-resolvents, i.~e., resolvents of bounded, unbounded, or multivalued linear operators, and $f$ and $g$ are analytic functions. Several applications are considered: a representation of the impulse response of a second order linear differential equation with operator coefficients, a representation of the solution of the Sylvester equation, and an exploration of properties of the differential of the ordinary functional calculus.

研究动机与目标

• 通过围线积分将两个算子的函数演算从多项式扩展到解析函数。
• 通过满足Hilbert恒等式的伪预解，将演算推广至无界和多值线性算子。
• 为Sylvester方程的解和二阶算子微分方程的脉冲响应提供积分表示。
• 通过取值于变换器的积分表征函数演算的微分及其谱。
• 为双算子函数演算建立谱映射定理，确保与谱性质的一致性。

提出的方法

• 通过双重围线积分定义函数演算：$ f(A,B)C = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} f(\lambda,\mu) R_{1,\lambda} C R_{2,\mu} \, d\mu \, d\lambda $，其中 $ R_{1,\lambda} $ 和 $ R_{2,\mu} $ 为伪预解。
• 使用伪预解替代标准预解，以将演算推广至无界和多值算子，其满足关系 $ R_\lambda - R_\mu = -(λ - \mu) R_\lambda R_\mu $。
• 将演算构造为两个普通函数演算的张量积，记为 $ \varphi_1 \boxtimes \varphi_2 $，保持代数与谱性质。
• 通过Fréchet导数推导函数演算的微分，得到显式积分公式：$ df^{-1}(\Delta B, B) = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} R_\lambda \Delta B R_\mu \, d\mu \, d\lambda $。
• 在非零条件下，证明了微分变换器的谱为 $ \sigma[df^{-1}(\cdot,B)] = \bigcup \left\{ \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} : \lambda,\mu \in \sigma(A) \right\} $。
• 应用包括通过变换器 $ Q_{A,-B}(C) $ 求解Sylvester方程 $ AZ + ZB = C $，以及推导算子上平方根和对数函数的微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过积分表示将双算子函数演算从多项式扩展到解析函数？
• RQ2 在函数演算中用伪预解替代标准预解时，哪些性质得以保持？
• RQ3 如何显式计算函数演算的微分并表征其谱？
• RQ4 扩展的张量积在统一 $ f(A,B) $ 的不同解释（包括作为从 $ Y \to X $ 的算子上的变换器）中起什么作用？
• RQ5 函数演算的积分表示如何应用于Sylvester方程和二阶算子微分方程等具体方程？

主要发现

• 通过涉及伪预解的双重围线积分，函数演算 $ f(A,B) $ 对解析函数 $ f $ 是良定义的，推广了经典多项式情形。
• 双算子演算满足谱映射定理：$ \sigma[\varphi_1 \boxtimes \varphi_2] = \sigma(\varphi_1) \times \sigma(\varphi_2) $，确保与谱理论的一致性。
• 逆函数演算的微分由 $ df^{-1}(\Delta B, B) = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} R_\lambda \Delta B R_\mu \, d\mu \, d\lambda $ 给出，其谱为 $ \sigma[df^{-1}(\cdot,B)] = \bigcup \left\{ \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} \right\} $。
• 对于平方根函数，其微分满足Sylvester方程 $ \sqrt{B} \cdot dv_{1/2}(\Delta B,B) + dv_{1/2}(\Delta B,B) \cdot \sqrt{B} = \Delta B $，其谱为 $ \left\{ \frac{1}{\lambda + \mu} : \lambda,\mu \in \sqrt{\sigma(B)} \right\} $。
• 对于对数函数，其微分的谱为 $ \left\{ \frac{1}{\exp_1^{[1]}(\lambda,\mu)} : \lambda,\mu \in \ln(\sigma(B)) \right\} $，条件是定义域避开负实轴。
• 该演算适用于Riccati方程，其中解的微分满足连续Sylvester方程，且解通过变换器 $ Q_{A+ZC, -B-CZ} $ 表示。