[论文解读] Analytic in an unit ball functions of bounded $L$-index in direction

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文将复单位球 $\mathbb{B}_n \subset \mathbb{C}^n$ 中解析函数的有界 $L$-指标方向概念推广至更一般情形，扩展了此前对整函数的研究。通过沿复直线的方向导数，建立了函数在给定方向上具有有界 $L$-指标的充要条件，并利用积分控制函数推导出精确的生长估计。结果被应用于单位球中的偏微分方程及解析解的研究。

ABSTRACT

We propose a generalisation of analytic in a domain function of bounded index, which was introduced by J. G. Krishna and S. M. Shah \cite{krishna}. In fact, analytic in the unit ball function of bounded index by Krishna and Shah is an entire function. Our approach allows us to explore properties of analytic in the unit ball functions. We proved the necessary and sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic functions. As a result, they are applied to study partial differential equations and get sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic solutions. Finally, we estimated growth for these functions.

研究动机与目标

• 将有界 $L$-指标方向的概念从整函数推广至复单位球 $\mathbb{B}_n \subset \mathbb{C}^n$ 中的解析函数，克服先前全局定义的局限性。
• 建立函数在单位球内给定向量 $\mathbf{b} \in \mathbb{C}^n$ 方向上具有有界 $L$-指标的充要条件。
• 通过涉及权函数 $L(z)$ 及其径向导数的积分控制函数，推导出此类函数的精确生长估计。
• 将结果应用于研究单位球中偏微分方程的解析解，提供具有有界 $L$-指标方向的充分条件。
• 通过去除如 $L$ 的径向对称性等限制性假设，推广并改进了 Sheremeta、Strochyk 等人早期的结果。

提出的方法

• 通过条件 $ \alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \} $ 对单位球 $\mathbb{B}_n$ 中的解析函数 $F$ 定义其在方向 $\mathbf{b}$ 上的有界 $L$-指标，其中 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$，$T_m(z) = |F^{(m)}(z)| / m!$，对所有 $z \in \mathbb{B}_n$ 和 $m \in \mathbb{Z}_+^n$ 成立。
• 将 $F$ 限制在复直线 $z^0 + t\mathbf{b}$ 上，$t \in \mathbb{C}$，并分析所得的单变量函数 $g(t) = F(z^0 + t\mathbf{b})$。
• 应用控制函数方法，引入 $g(r) = \max_{|t|=r} |g(t)|$，并推导涉及 $L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})$ 及其径向导数的微分不等式。
• 利用积分控制函数技术，通过 $\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt$ 对 $\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|$ 进行有界，同时引入 $(-L'_t)^+$ 的校正项。
• 通过不等式 $ \ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})| \leq \ln g(0) + (N+1)(1+o(1)) \int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt $ 在 $r \to R$ 时建立生长估计。
• 应用 Jensen 公式估计计数函数 $n(t, z^0, 0, 1/F)$，并将其与函数沿直线的 $|F|$ 增长联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位球 $\mathbb{B}_n$ 中的解析函数在给定向量 $\mathbf{b}$ 方向上具有有界 $L$-指标的充要条件是什么？
• RQ2 在不假设权函数 $L(z)$ 具有径向对称性的前提下，如何推导出此类函数的生长估计？
• RQ3 能否将有界 $L$-指标方向理论从整函数推广至单位球中解析的函数？
• RQ4 在 $\mathbb{B}_n$ 中，偏微分方程的解析解具有有界 $L$-指标方向的条件是什么？
• RQ5 生长估计如何依赖于 $L(z)$ 及其径向导数 $L'_t(z)$ 在 $\mathbb{B}_n$ 边界附近的行为？

主要发现

• 本文建立了单位球 $\mathbb{B}_n$ 中解析函数在方向 $\mathbf{b}$ 上具有有界 $L$-指标的充要条件，其表达形式为：对所有 $z \in \mathbb{B}_n$ 和 $m \in \mathbb{Z}_+^n$，有 $ \alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \} $。
• 对任意 $z^0 \in \mathbb{B}_n$ 和 $\theta \in [0, 2\pi]$，函数 $F$ 沿射线 $z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}$ 的增长满足 $ \varlimsup_{|z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}| \to 1} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $。
• 对所有 $p \geq 0$，不等式 $ \ln \max_{|t|=r} \left| \frac{\partial^p F(z^0 + t\mathbf{b})}{\partial \mathbf{b}^p} \right| \leq \ln \max_{0 \leq k \leq N} \left| \frac{\partial^k F(z^0)}{\partial \mathbf{b}^k} \right| + \int_0^r \left\{ (N+1)L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) + N \frac{(-L'_t(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}))^+}{L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})} \right\} dt $ 成立。
• 当 $L(z)$ 满足 $(-L'_t(z))^+ / L(z) \to 0$ 当 $|z| \to 1$ 时，增长渐近有界：$ \varlimsup_{r \to R} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $。
• 当 $n=1$ 时，结果通过去除 $l = l(|z|)$ 的假设，对 Sheremeta 和 Strochyk 的早期工作进行了改进，允许一般正连续函数 $l(z)$。
• 计数函数 $n(t, z^0, 0, 1/F)$ 满足 $ \int_0^r \frac{n(t, z^0, 0, 1/F)}{t} dt \leq \ln \max_{|t|=r} |F(z^0 + t\mathbf{b})| $，将零点分布与函数增长联系起来。