[论文解读] Analytic Solution of Linear Fractional Differential Equation with Jumarie Derivative in Term of Mittag-Leffler Function

Uttam Ghosh, Srijan Sengupta+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于朱马里（Jumarie）导数的线性分数阶微分方程的解析解法，将解表示为单参数梅杰莱夫（Mittag-Leffler）函数的形式。该方法在分数阶微积分与经典微积分之间建立了直接类比，使此类方程能够通过推导出的算法框架进行系统求解。

ABSTRACT

There is no unified method to solve the fractional differential equation. The type of derivative here used in this paper is of Jumarie formulation, for the several differential equations studied. Here we develop an algorithm to solve the linear fractional differential equation composed via Jumarie fractional derivative in terms of Mittag-Leffler function; and show its conjugation with ordinary calculus. In these fractional differential equations the one parameter Mittag-Leffler function plays the role similar as exponential function used in ordinary differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于求解涉及朱马里导数的线性分数阶微分方程。
• 建立基于朱马里公式化的分数阶微积分与经典微积分之间的联系。
• 证明单参数梅杰莱夫函数可作为自然解基，其作用类似于常微分方程中的指数函数。
• 提供一种基于梅杰莱夫函数求解此类方程的算法方法。

提出的方法

• 本文采用朱马里提出的分数阶导数公式，该公式适用于非可微函数，并提供了统一的微积分框架。
• 提出一种基于单参数梅杰莱夫函数 Eα(z) 的性质的解法算法，用于求解线性分数阶微分方程。
• 该方法利用拉普拉斯变换技术，以闭式形式推导解，其中梅杰莱夫函数作为基本解分量出现。
• 通过证明当分数阶阶数 α 趋近于 1 时，该方法与经典微积分保持一致，从而验证了其有效性。
• 本文推导并应用了在朱马里导数下涉及梅杰莱夫函数的关键恒等式，从而实现了分析上的可处理性。
• 将该解法框架应用于特定的线性分数阶微分方程，以展示其实际应用价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特殊函数系统化求解具有朱马里导数的线性分数阶微分方程？
• RQ2 在朱马里导数公式化下，梅杰莱夫函数在分数阶微分方程中扮演何种角色？
• RQ3 梅杰莱夫函数在多大程度上起到与经典微分方程中指数函数相同的作用？
• RQ4 能否基于梅杰莱夫函数开发出一种一致的算法框架来求解此类方程？
• RQ5 基于朱马里导数的解法与经典微积分在整数阶极限下有何关系？

主要发现

• 单参数梅杰莱夫函数 Eα(z) 作为具有朱马里导数的线性分数阶微分方程的基本解基，其作用类似于常微分方程中的指数函数。
• 所提出的算法能够通过将解表示为梅杰莱夫函数的形式，实现对线性分数阶微分方程的解析求解。
• 当分数阶阶数 α 趋近于 1 时，该方法与经典微积分保持一致，证实了其在极限情况下的有效性。
• 在朱马里导数下，拉普拉斯变换技术成功导出了包含梅杰莱夫函数的闭式解。
• 该框架为求解一类线性分数阶微分方程提供了统一方法，显著增强了分析可处理性。
• 本文通过梅杰莱夫函数建立了基于朱马里导数的分数阶微积分与经典微积分之间的清晰对应关系。