[论文解读] Analytic Solutions of Transverse Magneto-hydrodynamics under Bjorken Expansion

Shi Pu, Di-Lun Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 4

一句话总结

本文针对Bjorken膨胀下的横向磁流体动力学给出了解析解，表明时间和空间依赖的磁场会诱导出方向取决于磁场衰减指数的横向流体流动。关键结果为：当 $ n < -1 $ 时，流动方向指向中心；当 $ n > -1 $ 时，流动方向向外，而在 $ n = -1 $ 时流动消失，这一现象由磁通量守恒解释。

ABSTRACT

We review the recent developments of analytic solutions in transverse magneto-hydrodynamics under Bjorken expansion. It is found that the time dependence of magnetic fields can either increase or reduce the energy density depending on the decay exponent of magnetic fields. Moreover, perturbative solutions under weak magnetic fields with spatial inhomogeneity results in transverse flow, where the directions of flow also depend on the decay exponent of magnetic fields in time.

研究动机与目标

• 在Bjorken膨胀条件下，针对时空依赖的磁场，发展相对论性磁流体动力学的解析解。
• 研究时间依赖且空间非均匀的磁场如何影响夸克-胶子等离子体中的能量密度和流体速度。
• 阐明由磁场诱导的横向流动的物理起源，特别是磁通量守恒的作用。
• 提供一种简化的、可解析处理的框架，以在重离子碰撞的数值模拟之前获得物理直观理解。

提出的方法

• 在Milne坐标系中，为与横向磁场 $ B_y( au) $ 耦合的共形流体构造能量-动量张量，其中 $ p = rac{1}{3} ho $。
• 应用守恒律 $ abla_ u T^{ ueta} = 0 $，沿纵向和横向投影，推导能量密度和流体速度的演化方程。
• 对任意时间依赖的 $ B_y( au) $，解析求解能量密度方程，得到 $ ho( au) ightarrow au^{-4/3} \times \text{积分} \, B_y^2 + \tau B_y \frac{dB_y}{d\tau} $。
• 对于空间非均匀性，将磁场展开为傅里叶模 $ B_y( au,x) = \tilde{B}_k(\tau) e^{ikx} $，得到每个模 $ b_k(\tau) $ 的二阶常微分方程。
• 利用晚期时间（磁场趋于零）的渐近边界条件确定积分常数，从而实现 $ \rho_1(\tau,x) $ 和 $ u_x(\tau,x) $ 的完整解析求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间依赖的横向磁场如何影响Bjorken膨胀的夸克-胶子等离子体中能量密度的演化？
• RQ2 在相对论性流体动力学中，空间非均匀磁场如何诱导出横向流体流动？
• RQ3 为何横向流动方向会随磁场 $ B_y \rightarrow \tau^n $ 的衰减指数 $ n $ 而反转？
• RQ4 磁通量守恒如何解释在 $ n = -1 $ 处观察到的流动方向反转现象？
• RQ5 具有空间非均匀性的解析解能否为重离子碰撞中磁场诱导的集体流动提供物理机制？

主要发现

• 能量密度 $ \rho(\tau) $ 受 $ B_y^2 $ 及其导数的时间演化调制，其解明确表示为 $ \rho(\tau) = \tau^{-4/3} \times \text{积分} \, (B_y^2 + \tau B_y \frac{dB_y}{d\tau}) $。
• 对于空间非均匀的磁场，会诱导出横向流动 $ u_x $，其方向由 $ B_y(\tau) \rightarrow \tau^n $ 的衰减指数 $ n $ 决定。
• 当 $ n < -1 $ 时，横向流动指向 $ x = 0 $，与磁场衰减快于膨胀速率时的磁通量守恒一致。
• 当 $ n > -1 $ 时，流动方向向外，因为膨胀介质中磁场通量随缓慢衰减而增加。
• 当 $ n = -1 $ 时，流动消失，表明磁通量减少与介质膨胀达到平衡。
• 当 $ n = -1 $ 时，解简化为 $ u_x = 0 $，$ \rho_1 = -\frac{3}{2\tau} \tilde{B}_y^2(x) $，证实了横向流动的缺失。