[论文解读] Analytical and numerical modeling of front propagation and interaction of fronts in nonlinear thermoviscous fluids including dissipation

A. Rasmussen, Mads Peter Sørensen+2 more|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文提出了一种用于热粘性流体中有限振幅声扰动的哈密顿保持非线性波方程，该方程从流体动力学推导而来，包含二阶非线性项。通过广义行波假设，该文给出了精确的行进波前解，表明波前相对于前方流体以超音速运动，而相对于后方流体以亚音速运动，并通过线性分析和数值模拟验证了其稳定性，其中迎面碰撞后产生新的波前，其传播速度发生变化。

ABSTRACT

A wave equation, that governs finite amplitude acoustic disturbances in a thermoviscous Newtonian fluid, and includes nonlinear terms up to second order, is proposed. In contrast to the model known as the Kuznetsov equation, the proposed nonlinear wave equation preserves the Hamiltonian structure of the fundamental fluid dynamical equations in the non-dissipative limit. An exact traveling front solution is obtained from a generalized traveling wave assumption. This solution is, in an overall sense, equivalent to the Taylor shock solution of the Burgers equation. However, in contrast to the Burgers equation, the model equation considered here is capable to describe waves propagating in opposite directions. Owing to the Hamiltonian structure of the proposed model equation, the front solution is in agreement with the classical Rankine-Hugoniot relations. The exact front solution propagates at supersonic speed with respect to the fluid ahead of it, and subsonic speed with respect to the fluid behind it, similarly to the fluid dynamical shock. Linear stability analysis reveals that the front is stable when the acoustic pressure belongs to a critical interval, and is otherwise unstable. These results are verified numerically. Studies of head-on colliding fronts demonstrate that the front propagation speed changes upon collision.

研究动机与目标

• 在非耗散极限下，为热粘性流体中的有限振幅声扰动发展一个保持哈密顿结构的非线性波方程。
• 通过广义行波假设推导出精确的行进波前解，扩展了标准行波方法的适用范围。
• 通过Rankine-Hugoniot关系式，建立精确波前解与经典冲击波动力学之间的联系。
• 通过线性稳定性分析和数值验证，研究波前解的稳定性。
• 研究迎面碰撞的波前相互作用，并确定碰撞后波前的传播速度。

提出的方法

• 从基本流体动力学方程（纳维-斯托克斯方程、连续性方程、能量方程、状态方程）推导出二阶非线性波方程，保留至二阶的非线性项。
• 在平衡态上施加小扰动，并仅保留速度势函数，消除所有其他变量，从而得到单一的非线性波方程。
• 应用包含两个任意常数的广义行波假设，添加到速度势函数的偏导数中，从而获得更广泛的精确解类。
• 对波前解的渐近尾部进行线性稳定性分析，基于时间导数（与声压成正比）确定稳定性条件。
• 使用精确波前作为初始条件进行数值模拟，以验证稳定性并研究波前的迎面碰撞。
• 与Kuznetsov方程进行比较，结果表明仅所提出的哈密顿模型满足Rankine-Hugoniot关系式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为热粘性流体中的非线性波方程建立一个在非耗散极限下保持哈密顿结构的模型？
• RQ2 广义行波假设是否能产生与经典冲击波行为一致的精确波前解？
• RQ3 精确波前解的稳定性条件是什么？其与声压的关系如何？
• RQ4 两个反向传播的波前如何相互作用？碰撞后是否会生成具有不同传播速度的新波前？
• RQ5 所提出的模型方程是否与Rankine-Hugoniot关系式一致，而Kuznetsov方程则不一致？

主要发现

• 所提出的非线性波方程在非耗散极限下保持哈密顿结构，而Kuznetsov方程则不能。
• 精确波前解相对于前方流体以超音速传播，相对于后方流体以亚音速传播，其行为与经典冲击波一致。
• 当速度势函数的时间导数（与声压成正比）位于临界区间内时，波前是稳定的，该结果由线性稳定性分析确定。
• 数值模拟证实了稳定性预测结果，当处于稳定区间内时，波前在受到扰动后仍能保持其形状。
• 两个波前迎面碰撞后，会生成两个新的波前，其传播速度与原始波前不同，且可由碰撞前的参数预测。
• 哈密顿模型中控制波前传播速度的三次方程与Rankine-Hugoniot关系式等价，但该等价性在Kuznetsov方程中不成立。