[论文解读] Analytical Approximate Solutions of Systems of Multi-pantograph Delay Differential Equations Using Residual Power-series Method

Iryna Komashynska, Mohammed Al‐Smadi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Brake Systems and Friction Analysis参考文献 37被引用 14

一句话总结

本文提出残差幂级数法（RPSM）以计算多潘托格拉夫延迟微分方程组的解析近似解。该方法在无需线性化或小扰动的情况下构建收敛的泰勒级数展开，仅通过少量迭代即可获得高度精确的解，在数值例子中展现出高效性与简便性。

ABSTRACT

This paper investigates analytical approximate solutions for a system of multipantograph delay differential equations using the residual power series method (RPSM), which obtains a Taylor expansion of the solutions and produces the exact form in terms of convergent series requires no linearization or small perturbation when the solutions are polynomials. By this method, an excellent approximate solution can be obtained with only a few iterations. In this sense, computational results of some examples are presented to demonstrate the viability, simplicity and practical usefulness of the method. In addition, the results reveal that the proposed method is very effective, straightforward, and convenient for solving a system of multi-pantograph delay differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种可靠解析方法，用于求解多潘托格拉夫延迟微分方程组。
• 避免传统扰动方法中常用的线性化或小扰动技术。
• 通过系统化的基于残差的方法，提供收敛的泰勒级数解。
• 通过数值例子展示该方法的高效性与准确性。
• 确立RPSM作为求解复杂延迟微分系统的一种实用替代方法。

提出的方法

• 残差幂级数法基于残差函数，在初始点附近构建解的泰勒级数展开。
• 该方法基于原系统定义残差函数，将其展开为幂级数，并在每一阶次令其为零，以确定系数。
• 通过强制残差在每一阶次消失，迭代计算级数的系数，从而确保收敛性。
• 该方法无需线性化、离散化或扰动，保持了原始问题的结构。
• 解以收敛的幂级数形式表示，高阶项可进一步提高精度。
• 通过迭代应用该方法，可仅以极少计算量获得逐次逼近解。

实验结果

研究问题

• RQ1 残差幂级数法能否为多潘托格拉夫延迟微分方程组提供高精度的解析近似解？
• RQ2 与传统方法相比，RPSM在计算效率和精度方面表现如何？
• RQ3 RPSM在无需线性化的情况下，对非线性和多延迟系统具有多大处理能力？
• RQ4 该方法在这些系统中的收敛行为如何？
• RQ5 该方法是否可通过极少迭代次数获得高精度结果？

主要发现

• RPSM仅通过少量迭代即可产生高度精确的解析近似解，表现出快速收敛性。
• 该方法无需线性化或小扰动，适用于非线性系统。
• 数值结果表明，RPSM所得解在有精确解可供比较时，与之高度吻合。
• 即使在存在多个潘托格拉夫延迟和复杂非线性的情形下，该方法依然有效。
• 基于残差的迭代过程确保了系数计算的稳定性和可靠性。
• 该方法实现简单且计算高效，研究中的实例已充分证明这一点。