[论文解读] Analytical computation of the Mercury perihelion precession via the relativistic gravitational law and comparison with general relativity

A. S. Fokas, C.G. Vayenas+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于引力质量而非静止质量的相对论性引力定律，推导出 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $，并表明该公式在水星轨道的轨道轨迹 $ r(\varphi) $ 和近日点进动角 $ \Delta\varphi $ 上与广义相对论完全一致。关键结果是在轨道和进动的主导项上完全一致，表明无需完整广义相对论即可通过经典方法推导出相对论性效应。

ABSTRACT

Let $r(φ)$ denote the orbit of Mercury. We compare the formulae obtained via general relativity for $r(φ)$ and for the corresponding perihelion precession angle $Δφ$, with the formulae obtained via the relativistic gravitational law, $F=GMmγ^6/r^2$. The latter law can be derived from Newton's gravitational law by employing the gravitational rather than the rest masses of the Sun and Mercury. Remarkably, it is found that the two expressions for the dominant part of $r(φ)$ are identical and that the two expressions for $Δφ$ are also identical.

研究动机与目标

• 探究一种使用引力质量而非静止质量的修正牛顿引力定律是否能重现相对论性轨道效应。
• 将基于相对论性引力定律 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $ 的水星轨道解析解与广义相对论的解进行比较。
• 确定由相对论性引力定律导出的近日点进动角是否与广义相对论的预测一致。
• 探讨在相对论条件下，用引力质量替代静止质量或相对论质量时，其在牛顿引力中的物理意义。

提出的方法

• 利用引力质量与惯性质量等价性，结合惯性质量 $ m_i = \gamma^3 m_o $，推导出相对论性引力公式 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $。
• 将相对论性引力定律应用于二体问题，通过小参数 $ \varepsilon $ 的微扰理论推导轨道方程 $ r(\varphi) $。
• 采用有效势能法分析轨道，将径向坐标 $ r $ 按 $ \varepsilon $ 的幂级数展开，以提取主导进动项。
• 将由相对论性引力定律导出的近日点进动角 $ \Delta\varphi $ 与广义相对论的标准结果 $ \Delta\varphi = 6\pi GM/(p c^2) $ 进行比较。
• 对广义相对论和相对论性引力定律的方程进行数值积分，以验证解析结果。
• 使用渐近展开技术，分离出主导进动项 $ U_D = \frac{3}{2}\varepsilon \varphi \sin\varphi $，该分量控制近日点移动。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于引力质量而非静止质量的相对论性引力定律，是否能重现广义相对论对水星近日点进动的预测？
• RQ2 由 $ \gamma^6 $ 修正的牛顿引力导出的轨道轨迹 $ r(\varphi) $ 的主导项，是否与广义相对论的解完全相同？
• RQ3 通过相对论性引力定律计算的进动角 $ \Delta\varphi $ 与广义相对论预测之间的关系是什么？
• RQ4 相对论性引力公式中的 $ \gamma^6 $ 依赖性能否从狭义相对论和等效原理出发一致地推导出来？

主要发现

• 由相对论性引力定律 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $ 导出的轨道解 $ r(\varphi) $ 的主导项，与广义相对论解中的主导项完全相同。
• 通过相对论性引力定律计算的近日点进动角 $ \Delta\varphi $，在主导阶项上与广义相对论预测 $ \Delta\varphi = 6\pi GM/(p c^2) $ 完全一致。
• 解析展开表明，两种公式中的主导进动项 $ U_D = \frac{3}{2}\varepsilon \varphi \sin\varphi $ 完全相同，证实了进动机制的一致性。
• 对广义相对论和相对论性引力定律方程进行数值积分，结果在小 $ \varepsilon $ 条件下无法区分，验证了分析结果的正确性。
• 两种公式中角动量之比 $ J/\widetilde{J} $ 为 $ 1 + O(\varepsilon, \widetilde{\varepsilon}) $，确认了动力学变量的一致性。
• 结果表明，引力公式中的 $ \gamma^6 $ 依赖性可产生与完整广义相对论相同的相对论性轨道效应，至少在微扰参数的主导阶项上成立。