[论文解读] Analytical continuum mechanics à la Hamilton-Piola: least action principle for second gradient continua and capillary fluids

Nicolas Auffray, Francesco dell’Isola+3 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 147被引用 173

一句话总结

本文采用物质描述，为二阶梯度连续体和毛细流体提出了最小作用量原理，通过拉格朗日作用泛函推导出欧拉-拉格朗日方程与边界条件。该研究建立了一个变分框架，适用于能量依赖于形变二阶梯度的材料，恢复了已知的毛细流体动力学，并推导出广义的伯努利定律，其核心贡献在于通过哈密顿-皮奥拉形式体系推动解析连续介质力学的发展。

ABSTRACT

In this paper a stationary action principle is proven to hold for capillary fluids, i.e. fluids for which the deformation energy has the form suggested, starting from molecular arguments, for instance by Cahn and Hilliard. Remark that these fluids are sometimes also called Korteweg-de Vries or Cahn-Allen. In general continua whose deformation energy depend on the second gradient of placement are called second gradient (or Piola-Toupin or Mindlin or Green-Rivlin or Germain or second gradient) continua. In the present paper, a material description for second gradient continua is formulated. A Lagrangian action is introduced in both material and spatial description and the corresponding Euler-Lagrange bulk and boundary conditions are found. These conditions are formulated in terms of an objective deformation energy volume density in two cases: when this energy is assumed to depend on either C and grad C or on C^-1 and grad C^-1 ; where C is the Cauchy-Green deformation tensor. When particularized to energies which characterize fluid materials, the capillary fluid evolution conditions (see e.g. Casal or Seppecher for an alternative deduction based on thermodynamic arguments) are recovered. A version of Bernoulli law valid for capillary fluids is found and, in the Appendix B, useful kinematic formulas for the present variational formulation are proposed. Historical comments about Gabrio Piola's contribution to continuum analytical mechanics are also presented. In this context the reader is also referred to Capecchi and Ruta.

研究动机与目标

• 为二阶梯度连续体建立一个平稳作用量原理，将解析连续介质力学的理论框架拓展至经典形式之外。
• 在物质描述与空间描述下，推导出二阶梯度材料的一致欧拉-拉格朗日方程与边界条件。
• 通过变分原理恢复已知的毛细流体演化定律（如卡恩-希尔亚德型），避免依赖热力学假设。
• 利用所推导的变分框架，将伯努利定律推广至毛细流体。
• 基于客观的形变能密度，为二阶梯度材料提供全面的运动学与变分基础。

提出的方法

• 在物质与空间构型中引入拉格朗日作用泛函，以柯西-格林张量 $ C $ 及其梯度 $ \nabla C $ 作为基本变量。
• 通过对手动场变分作用泛函，推导出欧拉-拉格朗日方程与边界条件。
• 考虑形变能的两种形式：依赖于 $ C $ 与 $ \nabla C $，或依赖于 $ C^{-1} $ 与 $ \nabla C^{-1} $，以确保客观性。
• 将变分原理应用于类流体材料，恢复与先前热力学推导一致的毛细流体演化方程。
• 运用先进的运动学恒等式与张量微积分，包括对形变梯度 $ F_{P,Q}^i $ 求导 $ C_{MN,O} $ 与 $ C_{MN,O}^{-1} $ 的导数，以推导场方程。
• 在嵌入的黎曼流形上应用高斯散度定理，以处理变分公式中的边界积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以与解析力学原理一致的方式，为二阶梯度连续体建立最小作用量原理？
• RQ2 如何通过变分方法推导出二阶梯度材料的欧拉-拉格朗日方程与边界条件？
• RQ3 所提出的变分框架是否能恢复已知的毛细流体演化定律（如卡恩-希尔亚德型或科特定-德弗里斯型）？
• RQ4 能否在该变分框架内推导出毛细流体的广义伯努利定律？
• RQ5 为实现变分公式，二阶梯度不变量对形变梯度的正确运动学导数为何？

主要发现

• 为二阶梯度连续体建立了一个一致的最小作用量原理，其在物质描述与空间描述下均成立，采用拉格朗日形式体系。
• 推导出的欧拉-拉格朗日方程与边界条件在形变能依赖于二阶梯度时，与毛细流体的方程等价。
• 广义的毛细流体伯努利定律可直接从变分原理中导出，从而将经典流体动力学加以拓展。
• 对 $ C_{MN,O} $ 与 $ C_{MN,O}^{-1} $ 相对于 $ F_{P,Q}^i $ 的运动学恒等式已显式计算，并用于推导过程。
• 该公式具有客观性，且在刚体运动下保持不变，确保了物理一致性。
• 该方法在不依赖热力学假设的前提下，恢复了先前由塞佩切尔等人通过热力学论证所得结果，充分展现了变分方法的强大能力。