[论文解读] Analytical ramifications of derivatives valuation: Asian options and special functions

Michael Schröder|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2002

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过将亚式期权定价问题重新表述为特殊函数理论的拓展，提出了一种新的解析框架。利用复分析的拉普拉斯反演方法，推导出黑-斯科尔斯模型下亚式期权价格的单重积分表达式，该表达式在计算上远优于诺尔（Yor）的三重积分形式。该方法通过将价格表示为广义的赫米特函数乘积，首次实现了计算上可行的基准定价。

ABSTRACT

Averaging problems are ubiquitous in Finance with the valuation of the so-called Asian options on arithmetic averages as their most conspicuous form. There is an abundance of numerical work on them, and their stochastic structure has been extensively studied by Yor and his school. However, the analytical structure of these problems is largely unstudied. Our philosophy now is that such valuation problems should be considered as an extension of the theory of special functions: they lead to new problems about new classes of special functions which should be studied in terms of and using of the methods of special functions and their theory. This is exemplified by deriving integral representations for the Black-Scholes prices based on Yor's Laplace transform ansatz to their valuation. They are obtained by analytic Laplace inversion using complex analytic methods. The analysis ultimately rests on the gamma function which in this sense is found to be at the base of Asian options. The results improve on those of Yor and have served us a as starting point for deriving first time benchmark prices for these options.

研究动机与目标

• 解决在黑-斯科尔斯模型中推导亚式期权价格显式解析公式的长期挑战。
• 将衍生品定价重新框架化为特殊函数理论的拓展，特别聚焦于赫米特函数与抛物柱函数。
• 通过推导更高效的单重积分替代形式，克服诺尔三重积分表示在计算上的不可行性。
• 利用复分析与解析延拓，为亚式期权定价建立严格的解析基础。
• 首次基于解析反演技术，提供计算上可行的基准定价公式。

提出的方法

• 以诺尔的拉普拉斯变换假设作为亚式期权定价的起点。
• 通过复分析的复反演公式实施复解析拉普拉斯反演，其基础为伽马函数的汉克尔公式。
• 采用负阶赫米特函数——通过库默尔合流超几何函数定义，推广互补误差函数——作为核心工具。
• 应用勒贝格控制收敛定理，以证明复参数域上积分的解析延拓。
• 利用赫米特函数在大参数下的渐近展开，控制复平面上的衰减性与可积性。
• 通过控制被积函数的主导函数与紧集上的一致有界性，建立最终定价函数的解析性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 黑-斯科尔斯模型下亚式期权的价格能否以改进诺尔三重积分表示的单重积分形式表达？
• RQ2 复分析方法，特别是拉普拉斯反演，如何用于推导衍生品定价问题的新闭式表达式？
• RQ3 负阶赫米特函数在亚式期权定价的解析结构中扮演何种角色？
• RQ4 解析延拓在随机金融模型中能在多大程度上扩展拉普拉斯反演结果的有效定义域？
• RQ5 所推导的公式能否用于首次建立亚式期权的基准定价公式？

主要发现

• 推导出黑-斯科尔斯模型下亚式期权价格的新单重积分表示，取代诺尔的三重积分，显著提升计算可行性。
• 定价公式以两个广义超几何函数——负阶赫米特函数——乘积的积分形式表达，二者均为研究充分的特殊函数。
• 该方法依赖于复分析的解析拉普拉斯反演，其中伽马函数在推导过程中起基础性作用。
• 结果函数在复参数 ν 上为整函数，除 ν ≤ −4 的整数点外，且可在整个复平面上进行解析延拓。
• 通过赫米特函数的渐近衰减率与指数因子，对被积函数进行可积函数的控制，确保积分收敛。
• 该公式首次提供基于解析基础、计算上可行的基准定价，支持精确的数值计算与理论分析。