[论文解读] Analytical solution for free vibrations of simply supported transversally inextensible homogeneous rectangular plate

Milan Batista|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文基于三维弹性理论，为简支、横向不可伸长、均质矩形板的自由振动问题提供了精确的解析解。通过求解正弦载荷和不可伸长约束下的平衡方程，作者推导出位移与应力分量的闭式表达式，并给出了薄板的渐近展开式。主要贡献在于为验证高阶板理论提供了基准解。

ABSTRACT

In article, the exact solution of sinusoidal loaded simply supported elastic transversally inextensible rectangular plate is given. The expressions for displacement and stress components are derived and asymptotic expansion with respect to plate thickness are present. The frequency factors for plate thickness to width ratio 0.01, 0.1, 0.2 and 0.4 and various ratios of plate length to width are given.

研究动机与目标

• 为简支、横向不可伸长矩形板的自由振动提供精确的三维解析解。
• 填补文献中在横向不可伸长假设下精确基准解的空白，该假设是Mindlin及高阶板理论的关键假设。
• 实现板理论与精确解的直接比较，从而提升对其准确性的评估。
• 推导不同厚宽比和长宽比下的频率因子，支持数值方法与近似方法的验证。

提出的方法

• 采用三维弹性方程，结合横向不可伸长条件（w_z = 0）建立问题模型。
• 对位移和应力分量应用双重傅里叶级数展开，并假设谐和时间依赖性。
• 推导轴向与横向位移函数U(z)和V(z)的常微分方程组。
• 利用双曲函数求解该方程组，并引入归一化坐标ζ = z/h ∈ [-1,1]。
• 在简支边界和板面应用边界条件，导出未知系数的齐次系统。
• 通过行列式条件获得特征方程及非零解，进而确定频率因子与应力/位移表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正弦载荷下，简支、横向不可伸长矩形板自由振动的精确三维解是什么？
• RQ2 位移与应力分量在板厚度方向及平面内的分布特性如何？
• RQ3 不同板长宽比与厚宽比下的频率因子是多少？
• RQ4 薄板的渐近展开式与经典Reissner近似相比如何？
• RQ5 该精确解在多大程度上可作为评估板理论准确性的基准？

主要发现

• 利用双曲函数和基于边界条件的特征方程，推导出位移与应力分量的精确解析解。
• 计算了厚宽比为0.01、0.1、0.2和0.4，以及多种长宽比下的频率因子，提供了全面的基准数据。
• 对于厚宽比h/a = 0.4、泊松比ν = 0.3的正方形板，第一阶模态的频率因子为1.3994，FOPT的相对误差为0.17%，HOPT的相对误差为0.01%。
• 薄板的渐近展开式恢复了Reissner的经典应力近似，验证了其在高阶理论中的适用性。
• 结果表明，高阶板理论（HOPT）在精度上显著优于一阶板理论（FOPT），尤其在高阶模态下表现更优。
• 推导出的应力主矢与横向剪力表达式与经典板理论公式一致，支持直接比较。