[论文解读] Analytical Solution for Wave Propagation in Stratified Acoustic/Porous Media. Part II: the 3D Case

Julien Diaz, Abdelaâziz Ezziani|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文利用 Cagniard-de Hoop 方法，针对双层声学/多孔弹性介质中的三维波传播问题，提出了一种解析解。该研究将先前的二维工作拓展至三维，推导出反射波与透射波（包括 P、S 和 Ps 类型）的显式表达式，实现了界面处波行为的精确建模，并通过点源与高斯时间函数的数值模拟进行了验证。

ABSTRACT

We are interested in the modeling of wave propagation in an infinite bilayered acoustic/poroelastic media. We consider the biphasic Biot's model in the poroelastic layer. The first part is devoted to the calculation of analytical solution in two dimensions, thanks to Cagniard de Hoop method. In this second part we consider the 3D case.

研究动机与目标

• 开发一种针对由声学层覆盖多孔弹性层构成的三维层状介质中瞬态波传播的完整解析解。
• 将 Cagniard-de Hoop 方法从二维拓展至三维，以解决多孔弹性波问题，实现对所有波型的独立计算。
• 推导出两层中位移分量与格林函数的显式表达式，涵盖所有波模态（P、S、Ps、Pf）。
• 通过使用五阶高斯时间函数的点源进行数值模拟，对解析解进行验证。
• 为模拟多孔弹性介质中波传播的数值代码提供基准，特别是在复杂层状结构中的应用。

提出的方法

• 在多孔弹性层中使用 Biot 方程，在声学层中使用标准波动方程，建立三维波问题的数学模型。
• 应用 Cagniard-de Hoop 技术求解频波数域中的偏微分方程组。
• 通过围线积分与鞍点法对拉普拉斯-傅里叶变换进行反演，推导出位移与压力的格林函数。
• 通过变分法最小化波在界面处的传播时间，计算透射波（如 Ps）的虚设与真实到时。
• 求解得到的四阶多项式，以确定界面处最优反射点，从而确定波路径的几何结构。
• 采用中点求积法进行数值积分，并将结果与源时间函数卷积，得到时域信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Cagniard-de Hoop 方法从二维拓展至多孔弹性介质中的三维波传播问题？
• RQ2 在三维声学/多孔弹性双层介质中，反射波与透射波场（P、S、Ps、Pf）的解析表达式是什么？
• RQ3 不同波型（尤其是 Ps 和 Pf）的波速与到时如何依赖于波数与界面几何形状？
• RQ4 虚设速度在 Cagniard-de Hoop 方法中起什么作用，它们如何影响时域解的精度？
• RQ5 如何通过已知的源函数与检波器配置，对解析解进行数值验证？

主要发现

• 该解析解成功地在三维情况下分别且准确地计算出所有波型（P、S、Ps、Pf），时域信号中可观察到各波型的独立到时。
• 通过位于界面以上 500 米处的点源进行数值验证，源函数为以 15 Hz 为中心的五阶高斯函数的导数。
• 在声学层与多孔弹性层中，距界面 533 米处布置的检波器显示出清晰的波到时分离，包括 Ps 波与 Pf 波，如图 9 和图 10 所示。
• 虚设到时函数 $\tilde{t}_0(q_y)$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上为偶函数且单调递增，且是从 $\mathbb{R}^+$ 到 $\mathbb{R}^+$ 的双射，确保了 Cagniard-de Hoop 方法中反演的稳定性。
• 该方法正确捕捉了所有波模态的波前与振幅，由于 Ps 波的群速度较低，其到时晚于 P 波与 S 波。
• 在检波器处计算的位移分量显示出对应于入射波、反射波与透射波的独立波包，证实了解的物理解释一致性。