[论文解读] Analytical solution method for rheological problems of solids

Tamás Fülöp, Mátyás Szücs|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的解析方法，用于求解固体中的线性黏弹性问题，通过将已知的弹性解转换为时间相关的形式，将弹性常数替换为时间函数。该方法将复杂的流变学问题简化为可解的线性常微分方程组，从而在隧道、加压容器及其他地质力学情景中实现精确解，且具有验证过的准确性和计算效率。

ABSTRACT

In classical continuum theory, Volterra's principle [1, 2] is a long-known method to solve linear rheological (viscoelastic) problems derived from the corresponding elastic ones. Here, we introduce and present another approach that is simpler to apply (no operator inverse is required to compute but only linear ordinary differential equations to solve). Our method starts with the known elastic solution, replaces the elasticity coefficients with time dependent functions, derives differential equations on them, and determines the solution corresponding to the initial conditions. We present several examples solved via this new method, like tunnels and spherical hollows opened in various initial stress states, and pressurizing of thick-walled tubes and spherical tanks. These examples are useful for applications and, in parallel, are suitable for testing and validating numerical methods of various kinds.

研究动机与目标

• 开发一种简化的解析方法，用于求解固体中的线性流变学（黏弹性）问题，而无需依赖算子求逆。
• 在工程与地质力学应用中，实现时间相关位移、应变和应力场的精确闭式解。
• 为验证复杂三维问题中的数值方法（如有限元分析）提供基准。
• 将该方法推广至各种初始应力状态和边界条件，包括隧道和加压容器。
• 探讨该方法在平面应变构型下产生适定微分方程组的数学条件。

提出的方法

• 从均匀、各向同性固体中已知的弹性解（位移、应变和应力场）出发。
• 将材料常数（如弹性模量、泊松比）替换为表示黏弹性行为的时间相关函数。
• 推导控制这些时间相关材料函数演化的线性常微分方程组（ODEs）。
• 应用从弹性解中导出的初始条件，以确定 ODE 系统中的积分常数。
• 通过解析方法求解所得 ODE，获得时间相关的位移、应变和应力场。
• 通过涉及隧道、球形孔洞和加压厚壁圆筒在各种初始应力状态下的实例，验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过变换现有弹性解的方式，在不使用逆算子的前提下，实现黏弹性问题的解析求解？
• RQ2 在何种条件下可确保所得微分方程组是适定且可解的？
• RQ3 该方法在不同初始应力状态（如自重荷载或预存在的各向异性应力）下的表现如何？
• RQ4 该方法在平面应变问题及其他对称几何构型中的推广程度如何？
• RQ5 当解中应力和应变模式的球对称部分之间不存在自然关系时，该方法存在何种局限性？

主要发现

• 该方法通过将弹性解转换为时间相关形式，成功求解了隧道、球形孔洞和加压容器的黏弹性问题。
• 该方法避免了算子求逆的需要，相较于伏尔泰拉原理，显著简化了计算。
• 在平面应变问题中，由于应力和应变张量球对称部分之间存在固有关系，该方法始终能产生适定的线性常微分方程组。
• 该方法得到的解与实际隧道中测量的位移历史高度吻合，例如在 Bátaapáti 储存库中，其特征松弛时间为 3–10 年。
• 该方法适用于初始状态为静止、未扰动的问题，这类问题在地质力学与土木工程中十分常见。
• 当应力和应变张量的球对称部分之间不存在此类关系时，该方法可能变得过定，提示需要采用变分形式的广义或近似变体。