[论文解读] Analytical Solutions of the Quantum Hamilton-Jacobi Equation and Exact WKB-Like Representations of One-Dimensional Wave Functions

M. Fusco Girard|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 3

一句话总结

本文为一维系统提出了量子哈密顿-雅可比方程（QHJE）的解析解，推导出量子波函数的精确WKB类表示。通过利用Riccati方程技术求解QHJE，识别出在经典允许区域内连续且复值的量子动量和作用量函数，这些函数在 $\hbar\to 0$ 极限下平滑地还原为经典量，从而阐明了量子到经典的过渡，并实现了仅通过薛定谔方程无法获得的精确波函数表示。

ABSTRACT

General analytical solutions of the Quantum Hamilton Jacobi Equation for conservative one-dimensional or reducible motion are presented and discussed. The quantum Hamilton's characteristic function and its derivative, i.e. the quantum momentum function, are obtained in general, and it is shown that any one-dimensional wave function can be exactly represented in a WKB-like form. The formalism is applied to the harmonic oscillator and to the electron's motion in the hydrogen atom, and the above mentioned functions are computed and discussed for different quantum numbers. It is analyzed how the quantum quantities investigated tend to the corresponding classical ones, in the limit $\hbar o 0$. These results demonstrate that the Quantum Hamilton Jacobi Equation is not only completely equivalent to the Schrödinger Equation, but allows also to fully investigate the transition from quantum to classical mechanics.

研究动机与目标

• 推导一维保守系统量子哈密顿-雅可比方程（QHJE）的一般解析解。
• 识别在经典允许区域内保持连续且复值的类经典哈密顿特征函数和动量的量子类比。
• 证明量子波函数可使用量子约化作用量的实部及其导数，以WKB类形式精确表示。
• 通过展示平滑化的量子动量和作用量函数在 $\hbar \to 0$ 时收敛到经典值，阐明量子到经典的过渡。
• 确立QHJE为量子力学的完全等价且独立的表述形式，无需求解薛定谔方程即可恢复能级和本征函数。

提出的方法

• 利用Riccati微分方程理论导出的一般积分求解QHJE。
• 在经典允许区域内构建量子动量函数 $p_{F,G}(x,E)$ 和量子约化作用量 $W_{G}(x,E)$ 的复值、连续解。
• 确保量子动量虚部在经典极限下消失，而实部经粗粒化后收敛到经典动量。
• 应用粗粒化程序，对小区间内的量子函数进行平均，以消除高频振荡并揭示经典行为。
• 验证在平滑后，量子约化作用量实部收敛到经典作用量 $W_C(x)$，且振荡幅度减小但频率随 $\hbar \to 0$ 增加。
• 确认量子动量函数虚部与 $\hbar$ 成正比，从而在经典极限下消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为一维系统，特别是在经典允许区域内，推导出QHJE的一般解析解？
• RQ2 在经典允许区域内，量子动量函数的性质是什么？它在 $\hbar \to 0$ 极限下如何与经典动量关联？
• RQ3 是否每一个一维量子波函数都能使用量子约化作用量以WKB类形式精确表示？
• RQ4 量子动量和作用量函数中的量子涨落如何在经典极限下消失？粗粒化起什么作用？
• RQ5 QHJE在多大程度上等价于薛定谔方程？它能否独立地得出能级和本征函数？

主要发现

• 量子动量函数 $p_{F,G}(x,E)$ 在经典允许区域内为复值且连续，其实部在经典动量 $p_C(x)$ 周围振荡，虚部与 $\hbar$ 成正比。
• 当 $\hbar \to 0$ 时，量子约化作用量 $W_G(x,E)$ 的实部产生无穷多处波纹，但经粗粒化后收敛到经典作用量 $W_C(x)$。
• 对 $p_{F,G}(x)$ 的实部进行粗粒化后收敛到经典动量 $p_C(x)$，证实量子涨落必须经过平滑处理才能恢复经典行为。
• 量子动量函数虚部在零附近以有限振幅振荡，并在经典极限下消失，符合要求。
• 每一个一维波函数均可使用量子约化作用量实部作为相位、其导数作为振幅调节因子，以WKB类形式精确表示。
• QHJE为量子力学提供了完全等价且独立的表述形式，阐明了量子到经典的过渡，并可在不求解薛定谔方程的情况下精确重构波函数。