[论文解读] Analytical Study of the Spin Projection Operator

Zhiqiang Shi|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文从理论上研究了相对论性自旋态与螺旋度态的投影算符，证明尽管在 $p_z$ 静止参考系中二者形式上相同，但其算符本质不同：自旋态算符是洛伦兹协变的，而螺旋度算符是非相对论性的。关键结果是，在μ子衰变计算中使用螺旋度投影算符会揭示出一种左右手极化依赖的寿命不对称性 $A = \beta$，而使用自旋态算符则不存在这种不对称性，从而确立了弱衰变中一种此前被忽视的新型寿命不对称性。

ABSTRACT

We present an analytical study of the spin projection operator of the spin state and the helicity state. It is pointed out emphatically that the former is Lorentz covariant, while the latter is a nonrelativistic two-component operator. In the special case of $\bm p=p_z$, the helicity state and the spin state are formally identical. However, even so their spin projection operators are still different and so the helicity state is not a special case of the spin state. This makes the spinor is the degenerate state of the two different spin projection operators. The calculation on the lifetime of polarized muons shows that this difference will inevitably lead to the left-right polarization-dependent lifetime asymmetry.

研究动机与目标

• 澄清相对论量子力学中自旋态（洛伦兹协变）与螺旋度态（非相对论性）之间的基本概念与数学差异。
• 解决长期以来关于手征性、螺旋度与自旋在弱相互作用中物理意义的混淆。
• 证明在衰变过程中，自旋投影算符的选择（自旋态 vs. 螺旋度态）会导致不同的物理预测。
• 确立极化μ子衰变中此前被忽视的寿命不对称性的存在，其根源在于螺旋度算符的结构。

提出的方法

• 利用泡利-卢班斯基算符与四极化矢量 $e$ 推导出相对论性自旋态的投影算符，得到 $\rho_s = \frac{1}{2}(1 \pm i\gamma_5\gamma\cdot e)$。
• 将螺旋度投影算符推导为 $\rho_h = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma_5\beta)$，其中 $\beta = \mathbf{p}/E_p$，表明其非协变结构。
• 将两种算符应用于μ子衰变矩阵元 $\mu^- \to e^- \bar{\nu}_e \nu_\mu$，通过迹运算计算衰变宽度。
• 使用螺旋度态投影算符计算衰变宽度，得到 $\tau_{\text{Lh}} = \tau / (1 + \beta)$ 与 $\tau_{\text{Rh}} = \tau / (1 - \beta)$。
• 推导出寿命不对称性 $A = (\tau_{\text{Rh}} - \tau_{\text{Lh}})/(\tau_{\text{Rh}} + \tau_{\text{Lh}}) = \beta$。
• 与自旋态算符的结果进行比较，后者不产生不对称性，从而证明该不对称性是螺旋度算符选择的产物。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在μ子衰变计算中，自旋态与螺旋度态的自旋投影算符选择会导致不同的预测？
• RQ2 洛伦兹协变的自旋态算符与非相对论性的螺旋度算符之间存在何种根本差异？
• RQ3 螺旋度态投影算符是否预测了μ子衰变中的极化依赖寿命不对称性？
• RQ4 能否从螺旋度算符中解析推导出寿命不对称性 $A = \beta$？其与自旋态结果有何不同？
• RQ5 该不对称性对弱相互作用现象学、μ子对撞机设计以及宇宙射线能谱有何影响？

主要发现

• 自旋态投影算符 $\rho_s = \frac{1}{2}(1 \pm i\gamma_5\gamma\cdot e)$ 是洛伦兹协变的，而螺旋度态算符 $\rho_h = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma_5\beta)$ 不是，从而确立了其根本的物理差异。
• 在 $p_z$ 参考系中，自旋态与螺旋度态的旋量波函数形式上完全相同，但其投影算符仍保持不同，说明螺旋度态并非自旋态的特例。
• 在μ子衰变中使用螺旋度投影算符会导致左右手极化依赖的寿命不对称性 $A = \beta$，其中 $\beta = v/c$。
• 右旋极化μ子的寿命为 $\tau_{\text{Rh}} = \tau / (1 - \beta)$，左旋μ子的寿命为 $\tau_{\text{Lh}} = \tau / (1 + \beta)$，显示出明显的不对称性。
• 自旋态算符给出对称的衰变宽度 $\tau$，不产生任何不对称性，从而证明该寿命不对称性是使用螺旋度算符的产物。
• 结果表明螺旋度态是物理可观测量，而自旋态是与标准模型手征结构相关的弱本征态，类似于中微子味本征态与质量本征态的关系。