[论文解读] Analytification of mapping stacks

Julian J. Holstein, Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文確立了在複幾何與非阿基米德解析幾何中，派生映射堆疊構造與解析化運算可交換的條件。證明顯示，對於滿足 GAGA 與 tannakian 性質的派生堆疊，映射堆疊的解析化等價於解析化的映射堆疊，從而將派生模空間理論推廣至解析設定。

ABSTRACT

Derived mapping stacks are a fundamental source of examples of derived enhancements of classical moduli problems. For instance, they appear naturally in Gromov-Witten theory and in some branches of geometric representation theory. In this paper, we show that in many cases the mapping stacks construction commutes with the (complex or non-archimedean) analytification functor. Along the way, we establish several properties of the stack of analytic perfect complexes and study some incarnations of analytic Tannaka duality.

研究动机与目标

• 確立派生映射堆疊與解析化運算在複幾何與非阿基米德解析幾何中可交換的條件。
• 驗證關鍵幾何堆疊（如 proper 堆疊與半單李群的分類堆疊）的 GAGA 性質。
• 將 Tannaka duality 推廣至解析設定，並應用於具有 tannakian 目標的映射堆疊。
• 證明在適當的有限性與對偶條件下，解析化保持派生映射堆疊的幾何與同倫結構。

提出的方法

• 使用派生解析幾何定義派生解析堆疊，以及從派生仿射概形到派生解析空間的派生解析化函子。
• 應用解析化的普遍性質，將代數與解析設定下的映射堆疊相互關聯。
• 運用解析完美複形的堆疊及其性質，以控制映射堆疊的解析化。
• 建立嵌套派生 Stein 空間上 coherent sheaf 的上同調的平坦性與凝聚性結果，以驗證 GAGA 條件。
• 在解析設定中應用 Tannaka duality，以特徵化具有 tannakian 目標的映射堆疊。
• 應用譜序列與 Cartan 的定理 B，使在派生 Stein 空間上的上同調計算得以退化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，解析化函子與派生映射堆疊的構造可交換？
• RQ2 哪些派生堆疊滿足 GAGA 性質，以確保其 quasi-coherent sheaf 的派生類別在解析化下保持不變？
• RQ3 如何將 Tannaka duality 適應至派生解析設定，以特徵化具有 tannakian 目標的映射堆疊？
• RQ4 對於源堆疊與目標堆疊，其解析化映射堆疊等價於解析化映射堆疊的必要與充分條件為何？
• RQ5 在派生解析設定中，幾何性質如 properness 或 reductivity 在多大程度上可推出 GAGA 性質？

主要发现

• 當源堆疊滿足 GAGA 性質且目標為 tannakian 時，派生映射堆疊的解析化等價於解析化映射堆疊。
• 證明了解析完美複形的堆疊具有幾何性且與解析化相容，提供了一個關鍵技術工具。
• 對於 k 上的 proper 幾何堆疊，GAGA 性質成立，確保解析化在 quasi-coherent sheaf 的派生類別上誘導出等價。
• 在所述條件下（包括解析化函子的 t-exactness 與保守性），從映射堆疊的解析化到解析化映射堆疊的自然映射為等價。
• 普遍 GAGA 性質表明，映射堆疊的解析化等價於解析映射堆疊，從而將結果推廣至更廣泛的源類別。
• 透過在派生 Stein 空間上的上同調與平坦性論證，本文驗證了重要範例的 GAGA 性質，包括半單李群的分類堆疊、de Rham/Betti/Dolbeault 堆疊。