[论文解读] Analyzing Controllability of Bilinear Systems on Symmetric Groups: Mapping Lie Brackets to Permutations

Wei Zhang, Jr-Shin Li|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Mitochondrial Function and Pathology参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的代数框架，将双线性系统中向量场的李括号运算映射到对称群上的置换，从而通过置换循环结构实现高效的可控制性分析。其主要贡献是基于循环长度，提出了在 SO(n) 上可控制性的必要且充分条件，并通过图连通性将该框架扩展至多智能体网络和马尔可夫链等基于图的系统。

ABSTRACT

Bilinear systems emerge in a wide variety of fields as natural models for dynamical systems ranging from robotics to quantum dots. Analyzing controllability of such systems is of fundamental and practical importance, for example, for the design of optimal control laws, stabilization of unstable systems, and minimal realization of input-output relations. Tools from Lie theory have been adopted to establish controllability conditions for bilinear systems, and the most notable development was the Lie algebra rank condition (LARC). However, the application of the LARC may be computationally expensive for high-dimensional systems. In this paper, we present an alternative and effective algebraic approach to investigate controllability of bilinear systems. The central idea is to map Lie bracket operations of the vector fields governing the system dynamics to permutation multiplications on a symmetric group, so that controllability and controllable submanifolds can be characterized by permutation cycles. The method is further applicable to characterize controllability of systems defined on undirected graphs, such as multi-agent systems with controlled couplings between agents and Markov chains with tunable transition rates between states, which in turn reveals a graph representation of controllability through the graph connectivity.

研究动机与目标

• 解决高维双线性系统中李代数秩条件（LARC）的计算不可行性问题。
• 开发一种替代性、代数化的可控制性分析方法，避免昂贵的迭代李括号计算。
• 建立 so(n) 上李括号运算与对称群 S_n 上置换乘法之间的对应关系。
• 利用置换循环结构表征可控制性及可控制子流形。
• 将该框架扩展至定义在无向图上的系统，如多智能体系统和马尔可夫链，揭示通过图连通性表征可控制性的图论表示。

提出的方法

• 通过李括号到置换的对应关系，将 SO(n) 上右不变双线性系统的向量场映射到对称群 S_n 中的置换。
• 在 S_n 上定义一个二元运算 *，以模拟李括号运算，同时保持循环结构和轨道行为。
• 利用循环分解与轨道并集，确定经过 * 运算后所得置换的阶与类型。
• 基于循环类型（共轭类）在 S_n 上引入等价关系 ~，实现对置换细节的抽象。
• 证明 * 运算在 ~ 模下是可交换且结合的，从而支持一致的代数运算。
• 推导出一个必要且充分的可控制性条件：当且仅当生成的置换能生成长度为 n 的单一循环时，系统是可控制的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将双线性系统中的李括号运算映射到对称群上的置换运算，以简化可控制性分析？
• RQ2 置换运算 * 的哪些代数性质可确保在表征可控制性时的一致性与正确性？
• RQ3 由李括号导出的置换的循环结构如何决定 SO(n) 上系统的可控制性？
• RQ4 该框架在多大程度上可推广至定义在无向图上的系统，如多智能体系统和马尔可夫链？
• RQ5 图连通性与通过置换循环建模的系统可控制性之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当 * 运算生成的置换循环覆盖一个长度为 n 的单一循环时，SO(n) 上的系统是可控制的。
• S_n 上的 * 运算保持循环结构与轨道并集，从而能够从低阶循环构造高阶循环。
• 基于循环类型的等价关系 ~ 确保 * 运算在定义上是良定义的，并且在 ~ 模下可交换。
• 通过分析循环轨道的重叠与不相交情况，证明了 * 运算在 ~ 模下的结合性。
• 该框架揭示，基于图的系统的可控制性等价于其底层图的连通性，从而将代数结构与网络拓扑联系起来。
• 该方法提供了一种计算高效的 LARC 替代方案，通过利用置换代数避免了迭代李括号计算。