[论文解读] Analyzing Prospects for Quantum Advantage in Topological Data Analysis

Dominic W. Berry, Yuan Su+8 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 9

一句话总结

本文提出了一种容错量子算法，用于在拓扑数据分析中估计贝蒂数，显著降低了量子门的复杂度。通过采用凯泽窗幅度估计算法、优化的狄克态制备方法以及基于切比雪夫的特征值投影算子，该方法在具有较大贝蒂数的特定图类上实现了超多项式加速——最高可达约 $2\ln n$ 的根号量级，对于经典方法难以处理的实例，仅需数十亿量级的Toffoli门。

ABSTRACT

Lloyd et al. were first to demonstrate the promise of quantum algorithms for computing Betti numbers, a way to characterize topological features of data sets. Here, we propose, analyze, and optimize an improved quantum algorithm for topological data analysis (TDA) with reduced scaling, including a method for preparing Dicke states based on inequality testing, a more efficient amplitude estimation algorithm using Kaiser windows, and an optimal implementation of eigenvalue projectors based on Chebyshev polynomials. We compile our approach to a fault-tolerant gate set and estimate constant factors in the Toffoli complexity. Our analysis reveals that super-quadratic quantum speedups are only possible for this problem when targeting a multiplicative error approximation and the Betti number grows asymptotically. Further, we propose a dequantization of the quantum TDA algorithm that shows that having exponentially large dimension and Betti number are necessary, but insufficient conditions, for super-polynomial advantage. We then introduce and analyze specific problem examples which have parameters in the regime where super-polynomial advantages may be achieved, and argue that quantum circuits with tens of billions of Toffoli gates can solve seemingly classically intractable instances.

研究动机与目标

• 降低拓扑数据分析（TDA）中量子算法的容错门复杂度，特别是针对贝蒂数估计问题。
• 识别在贝蒂数估计中实现超二次方或超多项式量子加速的条件。
• 通过估算Toffoli门复杂度中的常数因子，分析在TDA中实现量子优势的实际可行性。
• 提出一种去量化方法，以评估仅指数级贝蒂数是否足以实现量子优势。
• 识别具体的问题实例及其参数，使得可实现超多项式加速，适用于早期容错量子硬件。

提出的方法

• 提出一种基于不等式检验的新方法来制备狄克态，以提高态制备效率。
• 应用凯泽窗幅度估计算法，以减少查询次数并提高贝蒂数估计的收敛性。
• 利用切比雪夫多项式实现特征值投影算子，以高效筛选出相关子空间。
• 将该方法编译为容错门集合，并对Toffoli门数量及常数因子进行详细估算。
• 引入一种去量化过程，以分析经典替代方案，重点研究基于未知马尔可夫链混合间隙的蒙特卡洛采样。
• 该方法包含一种团检查程序，并将幅值放大与初始态制备分离，以减少辅助量子比特的开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，贝蒂数估计的量子算法可相对于经典方法实现超多项式加速？
• RQ2 在贝蒂数估计中，实现超二次方加速是否必须依赖乘法误差近似？
• RQ3 仅指数级贝蒂数和高维数据是否足以保证超多项式量子优势？
• RQ4 对于实际问题实例，量子TDA算法的容错门复杂度是多少？
• RQ5 当依赖于未知混合间隙的蒙特卡洛采样时，经典去量化方法在复杂度上如何与之比较？

主要发现

• 仅当目标为乘法误差近似且贝蒂数随问题规模渐近增长时，才可能实现超多项式加速。
• 通过改进的狄克态制备和凯泽窗幅度估计算法，该算法将容错Toffoli门数量减少了约三个数量级。
• 对于具有大贝蒂数的特定图类，加速效果约为 $2\ln n$ 的根号量级，表明存在超多项式优势。
• 该方法估算表明，数十亿量级的Toffoli门足以解决经典方法难以处理的贝蒂数估计实例。
• 通过蒙特卡洛采样实现的经典去量化可能在实际中可行，但其复杂度仍不确定，因马尔可夫链混合间隙未知。
• 当前实现使用幅值放大进行团查找，但若将更高效的经典团查找方法适配至低辅助量子比特约束，可进一步提升该量子算法的性能。