[论文解读] Anderson localisation for an interacting two-particle quantum system on ${\mathbb Z}$

Victor Chulaevsky, Yuri Suhov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用 13

一句话总结

该论文在一维格点 ℤ 上研究了具有短程相互作用和随机外部势的两粒子量子系统，建立了安德森局域化。通过将适用于相互作用系统的改进多尺度分析（MSA）方法应用于该系统，证明了当无序度足够大（耦合常数 g 较大）时，谱为纯点谱，几乎所有情况下所有本征函数均指数衰减，前提是无序分布在其所在实轴附近的条带内为解析函数。

ABSTRACT

We study spectral properties of a system of two quantum particles on an integer lattice with a bounded short-range two-body interaction, in an external random potential field $V(x,ω)$ with independent, identically distributed values. The main result is that if the common probability density $f$ of random variables $V(x,ω)$ is analytic in a strip around the real line and the amplitude constant $g$ is large enough (i.e. the system is at high disorder), then, with probability one, the spectrum of the two-particle lattice Schroedinger operator $H(ω)$ (bosonic or fermionic) is pure point, and all eigen-functions decay exponentially. The proof given in this paper is based on a refinement of a multiscale analysis (MSA) scheme proposed by von Dreifus and Klein, adapted to incorporate lattice systems with interaction.

研究动机与目标

• 在 ℤ 上建立具有有限范围相互作用和随机外部势的两粒子量子系统的谱局域化。
• 将冯·德赖夫斯与克莱因的多尺度分析（MSA）框架扩展至具有相互作用的多体系统。
• 证明在高无序（大 g）条件下，两粒子哈密顿量的谱为纯点谱，且本征函数呈指数衰减。
• 通过在子对角线半格 ℤ²≥ 上施加适当的边界条件，同时考虑玻色子和费米子统计。
• 证明当单粒子势具有在实轴附近条带内的解析分布时，局域化特性依然成立。

提出的方法

• 将冯·德赖夫斯–克莱因多尺度分析（MSA）方案适配于具有相互作用的两体格点系统。
• 在 ℓ²(ℤ²≥) 中定义两粒子希尔伯特空间，其中 ℤ²≥ = {(x₁,x₂) ∈ ℤ² : x₁ ≥ x₂}，并根据玻色子（反射）或费米子（狄利克雷）统计施加边界条件。
• 以哈密顿量 H = H⁰ + U + g(V₁ + V₂) 建模系统，其中 H⁰ 为格点拉普拉斯算符，U 为有限范围相互作用，V(x,ω) 为独立同分布的随机变量。
• 利用隧穿和共振事件的概率估计，控制有限体积内本征函数的衰减。
• 在尺度参数 Lₖ 上使用指数衰减界和归纳法，对连续尺度上的局域化概率应用递归估计。
• 建立关键衰减估计式：P(Bₖ) ≤ 4Lₖ⁻⁴ < Lₖ₊₁⁻¹²，其中 p=6, q=24, α=3/2，以证明 MSA 的归纳步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有相互作用和随机势的 ℤ 上，两粒子系统在高无序条件下是否表现出纯点谱？
• RQ2 多尺度分析技术能否扩展至具有有限范围两体相互作用的多体系统？
• RQ3 无序分布需满足何种条件，才能确保在相互作用两粒子系统中本征函数的指数局域化？
• RQ4 玻色子和费米子统计如何影响两粒子系统中的局域化特性？
• RQ5 当单粒子势在实轴附近条带内具有解析分布时，局域化是否依然稳健？

主要发现

• 当耦合常数 g 足够大时，两粒子哈密顿量的谱以概率 1 为纯点谱。
• 所有本征函数在无穷远处呈指数衰减，证实了在相互作用系统中存在指数（安德森）局域化。
• 该结果成立的前提是随机势的概率密度 f 在实轴附近的条带内为解析函数。
• 证明依赖于为两体情形量身定制的改进多尺度分析，其核心为局域化概率的递归衰减估计。
• 非局域化事件的概率衰减快于任意多项式，确保了 MSA 迭代的收敛性。
• 该方法适用于玻色子和费米子系统，仅需在子对角线格 ℤ²≥ 上施加适当的边界条件。