[论文解读] Anderson localisation in two dimensions: insights from Localisation Landscape Theory, exact diagonalisation, and time-dependent simulations

Sophie S. Shamailov, Dylan Brown+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本文將局域化景观理论（LLT）進一步發展，提出一種計算高效且概念直觀的框架，用於研究二維無序系統中的安德森局域化現象。透過使用LLT的等效勢能，作者精確計算出局域化長度，並與精確對角化結果進行驗證，進一步提出時間演變模擬與傳輸實驗以檢測局域化現象，結果顯示即使存在能量依賴的限制，擴展波包仍能有效探測局域化。

ABSTRACT

Motivated by experimental progress in cold atomic systems, we use and advance Localisation Landscape Theory (LLT), to examine two-dimensional systems with point-like random scatterers. We begin by showing that exact eigenstates cannot be efficiently used to extract the localisation length. We then provide a comprehensive review of known LLT, and confirm that the Hamiltonian with the effective potential of LLT has very similar low energy eigenstates to that with the physical potential. Next, we use LLT to compute the localisation length for very low-energy, maximally localised eigenstates and test our method against exact diagonalisation. Furthermore, we propose a transmission experiment that optimally detects Anderson localisation, and demonstrate how one may extract a length scale which is correlated with (and in general smaller than) the localisation length. In addition, we study the dimensional crossover from one to two dimensions, providing a new explanation to the established trends. The prediction of a mobility edge coming from LLT is tested by direct Schr\\"odinger time evolution and is found to be unphysical. Moreover, we investigate expanding wavepackets, to find that these can be useful in detecting and quantifying Anderson localisation in a transmission experiment, with the only disadvantage being the inability to resolve the energy dependence of the localisation length. Then, we utilise LLT to uncover a connection between the Anderson model for discrete disordered lattices and continuous two-dimensional disordered systems, which provides powerful new insights. From here, we demonstrate that localisation can be distinguished from other effects by a comparison to dynamics in an ordered potential with all other properties unchanged. Finally, we thoroughly investigate the effect of acceleration and repulsive interparticle interactions, as relevant for current experiments.

研究动机与目标

• 提供一個簡單、直觀且可定量比較的二維系統安德森局域化描述，以便與超冷原子實驗直接對比。
• 驗證局域化景觀理論（LLT）作為計算無序系統中局域化長度的優於精確對角化的方法。
• 提出並分析一種基於傳輸實驗的檢測方法，透過流量與長度尺度相關性來檢測局域化。
• 研究從一維到二維的維度交叉現象，並解釋局域化行為中既有的趨勢。
• 評估實際實驗條件（如加速度與排斥相互作用）對局域化檢測與量化的影響。

提出的方法

• 運用局域化景觀理論（LLT）計算能保留物理哈密頓量低能本徵態的等效勢能。
• 使用精確對角化方法對LLT預測的局域化長度在低能本徵態中進行基準測試與驗證。
• 實施時間演變模擬，分析擴展波包的動態以探測局域化行為並提取輸運特性。
• 設計基於隔間佔有數與流量的傳輸實驗情境，以提取與局域化長度相關的長度尺度。
• 應用數值方法計算景觀中谷線之間的平均距離，透過隨機射線取樣與約1.84的縮放係數，估算物理距離。
• 利用鞍點與極大值識別位勢壁，定義積分與分析局域化特徵的區域。

实验结果

研究问题

• RQ1 局域化景觀理論（LLT）能否準確重現二維無序系統中低能本徵態的局域化長度？與精確對角化相比表現如何？
• RQ2 哪種實驗設置——特別是傳輸實驗——能最有效地檢測安德森局域化？從中可提取何種可測量的長度尺度？
• RQ3 在無序勢場中擴展的波包如何作為局域化的探針？其在解析局域化長度的能量依賴性方面有何限制？
• RQ4 LLT是否預測二維系統中存在金屬-絕緣體轉變邊界（遷移邊界）？此預測在時間演變薛定諤方程模擬中是否具有物理合理性？
• RQ5 實際實驗條件（如加速度與粒子間排斥作用）如何影響安德森局域化的檢測與量化？

主要发现

• LLT的等效勢能產生的低能本徵態與物理勢能的結果幾乎完全一致，驗證了其在計算局域化長度時的適用性。
• 該方法成功計算出最大局域化本徵態的局域化長度，且結果經與精確對角化比較得到確認。
• 基於隔間佔有數與流量的傳輸實驗，可提取出與真實局域化長度相關（且通常較小）的長度尺度。
• 時間演變模擬顯示，LLT所預測的遷移邊界為物理上不成立，顯示該理論在此情境下存在限制。
• 擴展波包在檢測局域化方面具有有效性，但其動態無法解析局域化長度的能量依賴性。
• 約1.84的縮放係數可將採樣的谷線間平均距離轉換為物理長度尺度，進而使即使在開放網絡中亦能進行定量分析。