[论文解读] Anderson localization for electric quantum walks and skew-shift CMV matrices

Christopher Cedzich, Albert H. Werner|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 68被引用 19

一句话总结

本文在无理电场参数下建立了对一维量子行走的安德森局域化，证明了对于勒贝格典型（几乎所有）的无理电场，其绝对连续谱缺失，且本征态呈指数局域化。通过将系统与具有偏移移位Verblunsky系数的CMV矩阵建立酉等价，推导出李雅普诺夫指数的显式解析表达式，并将结果推广至拟周期单位矩阵带状矩阵。

ABSTRACT

We consider the spectral and dynamical properties of one-dimensional quantum walks placed into homogenous electric fields according to a discrete version of the minimal coupling principle. We show that for all irrational fields the absolutely continuous spectrum of these systems is empty, and prove Anderson localization for almost all (irrational) fields. This result closes a gap which was left open in the original study of electric quantum walks: a spectral and dynamical characterization of these systems for typical fields. Additionally, we derive an analytic and explicit expression for the Lyapunov exponent of this model. Making use of a connection between quantum walks and CMV matrices our result implies Anderson localization for CMV matrices with a particular choice of skew-shift Verblunsky coefficients as well as for quasi-periodic unitary band matrices.

研究动机与目标

• 填补对无理电场下电量子行走谱行为与动力学行为理解的空白，尽管此前已解决有理电场及特殊无理电场的情形。
• 证明对于勒贝格典型（几乎所有）的无理电场，系统呈现纯点谱，且本征函数呈指数衰减，即安德森局域化。
• 为电量子行走模型的李雅普诺夫指数推导出显式、解析的表达式。
• 通过量子行走–CMV矩阵对应关系，将局域化结果推广至具有偏移移位Verblunsky系数的CMV矩阵，以及拟周期单位矩阵带状矩阵。
• 解决拟周期情形下通用谱行为的开放问题，特别是针对未由连分数系数表征的电场。

提出的方法

• 通过离散最小耦合原理形式化电量子行走，将系统建模为ℓ2(Z)⊗C2上的时间演化酉算符WΦ，其中由电场诱导的空间变换哈密顿量作为量子门。
• 应用量子行走与CMV矩阵之间的酉等价关系，特别是每两个Verblunsky系数中有一个为零的稀疏CMV矩阵，将电行走映射为具有偏移移位系数的CMV矩阵。
• 使用‘筛法’技术，将稀疏CMV矩阵的局域化结果推广至具有偏移移位Verblunsky系数的完整CMV矩阵。
• 利用转移矩阵形式化与偏移移位动力系统性质，推导出电量子行走李雅普诺夫指数的显式解析公式。
• 借助拟周期薛定谔算符与CMV算符的研究成果，特别是李雅普诺夫指数的正性及其赫尔德连续性，通过Craig–Bersohn方法或类似谱技术证明局域化。
• 证明对于几乎所有无理频率（勒贝格测度意义下），谱为纯点谱，且本征函数呈指数衰减，从而确认安德森局域化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有无理场参数的电量子行走，安德森局域化是否成立，特别是对一个通用（勒贝格典型）的无理场集合？
• RQ2 对于几乎所有无理场，电量子行走算符WΦ的谱类型（ac, sc, pp）是什么？
• RQ3 电量子行走的李雅普诺夫指数能否以闭式表达？其与动力学和谱性质的关系如何？
• RQ4 量子行走与CMV矩阵之间的酉等价关系是否允许将稀疏CMV矩阵的局域化结果推广至具有偏移移位Verblunsky系数的完整CMV矩阵？
• RQ5 具有偏移移位类型系数的拟周期单位矩阵带状矩阵是否也对几乎所有频率呈现安德森局域化？

主要发现

• 对于几乎所有无理电场（勒贝格测度意义下），电量子行走的绝对连续谱为空，谱为纯点谱。
• 电量子行走的本征函数在几乎所有无理电场下呈指数衰减，确认了安德森局域化。
• 推导出李雅普诺夫指数的显式、解析表达式，适用于整个无理电场类的电量子行走模型。
• 该结果意味着，由二维偏移移位动力系统生成Verblunsky系数的稀疏CMV矩阵也呈现安德森局域化。
• 通过‘筛法’技术，将局域化结果扩展至具有偏移移位Verblunsky系数的完整CMV矩阵。
• 本文建立了具有偏移移位类型系数的拟周期单位矩阵带状矩阵的安德森局域化，补充了此前关于Liouville频率下谱为纯奇异连续谱的研究结果。