[论文解读] Anderson t-modules with thin t-adic Galois representations

Andreas Maurischat|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文构建了一类可统一化的 Anderson $t$-模——Carlitz模的延拓——其$t$-进伽罗瓦表示在动机伽罗瓦群中的像在Zariski拓扑下是稠密的，但并非$t$-进拓扑下的开集，从而表明此类像可以是'稀疏'的（密度为$1/(k+1)$）。结果与Pink对Drinfeld模的${\mathfrak{p}}$-进开性结果形成对比，并拓展了对正特征动机中伽罗瓦像行为的理解。

ABSTRACT

Pink has given a qualitative answer to the Mumford-Tate conjecture for Drinfeld modules in the 90s. He showed that the image of the v-adic Galois representation is v-adically open in the motivic Galois group for any prime v. In contrast to this result, we provide a family of uniformizable Anderson t-modules for which the Galois representations of their t-adic Tate-modules are "far from" having t-adically open image in their motivic Galois groups. Nevertheless, the image is still Zariski-dense in the motivic Galois group which is in accordance to the Mumford-Tate conjecture. For the proof, we explicitly determine the motivic Galois group as well as the Galois representation for these t-modules.

研究动机与目标

• 研究函数域设定下Anderson $t$-模的$t$-进伽罗瓦表示结构，特别是其像是否在动机伽罗瓦群中为$t$-进开集。
• 提供反例以反驳伽罗瓦像应为$t$-进开集的预期，此预期源于Pink对Drinfeld模的研究。
• 通过刚性解析平凡化方法，显式计算一类$t$-模——Carlitz模的延拓——的动机伽罗瓦群与伽罗瓦表示。
• 通过$t$-进密度量化伽罗瓦像的'稀疏性'，表明即使在Zariski稠密的情况下，其密度也可严格小于1。

提出的方法

• 显式计算动机伽罗瓦群$\Gamma_{\rho_kC}$，其为${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]$中对角元相等、子对角线元素任意的上三角矩阵群，由一个单位元和$k$个系数参数化。
• 利用动机的刚性解析平凡化，将$t$-进Tate模与$a \in {{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$的高阶导数$\partial_t^{(i)}(a)$联系起来。
• 将$t$-进伽罗瓦表示$\varrho_t$构造为从$\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$到$\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$的同态，其矩阵元涉及$a$及其高阶导数。
• 应用高阶导数理论与$t$-进密度理论，计算模$t^N$下图像的渐近大小$D(N)$，从而导出密度公式$\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$。
• 将密度计算推广至Carlitz模的张量幂$C^{\otimes d}$，证明当$d = p^e d'$时，$\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Anderson $t$-模的$t$-进伽罗瓦表示的像是否可能在动机伽罗瓦群中非$t$-进开集，即使其在Zariski拓扑下稠密？
• RQ2 Carlitz模延拓的动机伽罗瓦群的精确结构为何？
• RQ3 此类$t$-模的伽罗瓦像的$t$-进密度行为如何？其是否可能严格小于1？
• RQ4 是否存在显式构造的$t$-模族，使得伽罗瓦像在低$t$-进密度的意义下为'稀疏'？

主要发现

• Carlitz模第$k$重延拓的动机伽罗瓦群$\Gamma_{\rho_kC}$同构于${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$中对角元相等、子对角线元素任意的上三角矩阵群。
• $t$-进伽罗瓦表示$\varrho_t$将伽罗瓦元素映射为矩阵，其元素为$a$及其高阶导数$\partial_t^{(i)}(a)$，构成$\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$中的表示。
• $\varrho_t$的像是$\Gamma_{\rho_kC}$中的Zariski稠密集，符合Mumford-Tate猜想，但并非$t$-进拓扑下的开集。
• $\varrho_t$的$t$-进密度为$\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$，表明其在$t$-进拓扑闭包中为'稀疏'（低维）。
• 对于张量幂$E = C^{\otimes d}$且$d = p^e d'$的情形，$t$-进密度为$\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$，当$e \geq 1$时严格小于1，确认了这些情形下非开性。