[论文解读] André-Oort for a Nonholomorphic Modular Function

Haden Spence|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过利用准模形式 $\chi$ 及其对偶几乎全纯模形式 $\chi^*$ 的 Ax-Lindemann 型结果，建立了 $\chi^*$ 的 André-Oort 猜想的类比，结合 o-极小性与点计数技术，证明了 $\Delta^{2n}$ 的任意子簇仅包含有限多个最大 $(j,\chi^*)$-特殊子簇，将经典的模 André-Oort 定理推广至非全纯模形式情形。

ABSTRACT

The modular case of the André-Oort Conjecture is a theorem of Andre and Pila, having at its heart the well-known modular function j. I give an overview of two other `nonclassical' classes of modular function, namely the quasimodular (QM) and almost holomorphic modular (AHM) functions. These are perhaps less well-known than j, but have been studied by various authors including for example Masser, Shimura and Zagier. It turns out to be sufficient to focus on a particular QM function $χ$ and its dual AHM function $χ^*$, since these generate the relevant fields. After discussing some of the properties of these functions, I go on to prove some Ax-Lindemann results for $χ$ and $χ^*$. I then combine these with a fairly standard method of o-minimality and point counting to prove the central result of the paper; a natural analogue of the modular André-Oort conjecture for the function $χ^*$.

研究动机与目标

• 将 André-Oort 猜想从经典的 $j$-函数推广至包含非全纯模形式的设置。
• 为拟模形式 $\chi$ 及其对偶几乎全纯模形式 $\chi^*$ 建立 Ax-Lindemann 型结果。
• 证明任意 $\mathbb{C}^{2n}$ 的子簇仅包含有限多个最大 $(j,\chi^*)$-特殊子簇，其类比于经典的模 André-Oort 定理。
• 证明当 $j$ 与 $\chi^*$ 结合时，即使 $\chi^*$ 是具有丰富算术结构的非全纯模形式，该有限性结果依然成立。

提出的方法

• 本文构造了模形式多项式 $\Psi_N \in \mathbb{Q}[X,Y,Z]$，使得对合适的 $g \in \mathrm{GL}_2^+(\mathbb{Q})$，有 $\Psi_N(\chi^*(g\tau), j(\tau), \chi^*(\tau)) = 0$，从而推广了 $j$ 的经典 $\Phi_N$。
• 定义 $(j,\chi^*)$-特殊子簇为由方程 $\Psi_N(z_i, z_j, z_k) = 0$ 及 $z_i = j(\tau_i)$, $z_j = \chi^*(\tau_i)$ 所截出的代数簇的不可约分支，其中涉及奇异模与测地线关系。
• 证明依赖于 o-极小性与点计数技术，沿用 Pila 与 Zannier 的策略，以控制子簇中特殊点的密度。
• 证明了 $\chi$ 与 $\chi^*$ 的 Ax-Lindemann 型结果，表明映射到给定 $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$ 的 $\mathcal{H}^n$ 的代数子簇，均由弱 $\mathcal{H}$-特殊簇的有限多个平移所覆盖。
• 关键步骤在于证明 $\pi^{-1}(V)$ 的所有最大弱 $\mathcal{H}$-特殊子簇均为有限多个基本 $\mathcal{H}$-特殊簇的平移，利用了与 Pila 的命题 10.2 类似的结论。
• 采用归纳法，通过分析基本 $(j,\chi^*)$-特殊簇的平移并应用归纳假设于可能的平移参数簇，将问题约化至低维情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 André-Oort 猜想能否推广至包含非全纯模形式 $\chi^*$ 的情形？
• RQ2 对于拟模形式 $\chi$ 及其对偶 $\chi^*$，Ax-Lindemann 型结果是否成立？
• RQ3 通过模形式多项式 $\Psi_N$ 定义的 $(j,\chi^*)$-特殊子簇是否具有足够结构，以确保其在 $\mathbb{C}^{2n}$ 的子簇中为有限？
• RQ4 能否利用 o-极小性与点计数技术，证明给定 $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$ 中最大 $(j,\chi^*)$-特殊子簇的有限性？

主要发现

• 本文证明了对任意子簇 $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$，仅存在有限多个最大 $(j,\chi^*)$-特殊子簇，从而确立了模 André-Oort 猜想在非全纯情形下的类比。
• 本文为 $\chi$ 与 $\chi^*$ 建立了 Ax-Lindemann 型结果，表明映射到 $V$ 的 $\mathcal{H}^n$ 的代数子簇，均包含于有限多个基本 $\mathcal{H}$-特殊簇的平移之中。
• 模形式多项式 $\Psi_N$ 被显式构造，满足 $\Psi_N(\chi^*(g\tau), j(\tau), \chi^*(\tau)) = 0$ 对所有 $g \in \mathrm{GL}_2^+(\mathbb{Q})$ 且行列式为 $N$ 成立，推广了 $j$ 的经典 $\Phi_N$。
• 证明依赖于利用基本 $(j,\chi^*)$-特殊簇平移参数的有限性所建立的归纳论证，将问题约化至低维情形。
• 结果表明 $\chi^*$-特殊子簇在 $\mathbb{C}^n$ 中的数量亦为有限，通过自然嵌入至 $\mathbb{C}^{2n}$ 可得此结论。
• 关键技术突破在于将 o-极小性与点计数框架适配至 $\chi^*$ 的非全纯设置，从而将 André-Oort 定理的适用范围加以拓展。