[论文解读] André-Quillen cohomology and rational homotopy of function spaces

Jonathan Block, Andrey Lazarev|ArXiv.org|Jun 28, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了Sullivan-de Rham模型的André-Quillen上同调与有理同伦论中映射空间和自同伦等价空间的同伦群之间的直接联系。结果表明，映射空间 $ F(X,Y) $ 的同伦群以及有理化空间 $ X_{\mathbb{Q}} $ 的同伦自同构群 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 均可通过 $ X $ 和 $ Y $ 的有理化模型的André-Quillen上同调来计算，其中 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 的李代数被识别为 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $，从而为Sullivan的算术性结果提供了概念性框架。

ABSTRACT

We develop a simple theory of André-Quillen cohomology for commutative differential graded algebras over a field of characteristic zero. We then relate it to the homotopy groups of function spaces and spaces of homotopy self-equivalences of rational nilpotent $CW$-complexes. This puts certain results of Sullivan in a more conceptual framework.

研究动机与目标

• 为特征零域上的交换微分分次代数（dga）建立直接、可计算的André-Quillen上同调理论。
• 将André-Quillen上同调与有理化幂零CW复形之间映射空间 $ F(X,Y) $ 的同伦群联系起来。
• 通过将 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 的李代数识别为 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $，重新证明并概念化Sullivan的结果：$ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 是一个算术群。
• 利用dga模型将映射空间的高阶同伦群计算推广至非基点情形。

提出的方法

• 通过dga $ A $ 和dg $ A $-模 $ M $ 的显式上链复形 $ C^{*}_{AQ}(A,M) $ 定义André-Quillen上同调。
• 建立该复形与导出函子的等价性，并利用dga与dg模上的模型范畴结构证明其同伦不变性。
• 在 $ C^{*}_{AQ}(A,A) $ 上引入Gerstenhaber括号，证明其在上同调上诱导出李代数结构。
• 利用Sullivan-de Rham函子将拓扑映射空间转化为dga范畴中关于 $ A^{*}(Y) $ 的dga同态空间。
• 利用有理化有限型空间与dga之间的同伦范畴反等价关系，将 $ \pi_n(F(X,Y)) $ 与 $ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $ 联系起来。
• 利用 $ A^{*}(X \times S^n) \simeq A^{*}(X) \ltimes A^{*}(X)[n] $ 的结构来建模同伦纤维序列并计算同伦群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算特征零域上交换dga的André-Quillen上同调？
• RQ2 映射空间 $ F(X,Y) $ 的同伦群与它们的有理化模型的André-Quillen上同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 有理化自同伦等价群 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 的李代数在上同调术语中如何实现？
• RQ4 是否能通过André-Quillen上同调计算非基点映射空间的高阶同伦群？

主要发现

• 在基点 $ f $ 处，映射空间 $ F(X,Y) $ 的第 $ n $ 个同伦群同构于 $ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $，且当 $ n \geq 2 $ 时为阿贝尔群同构。
• 群 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ 的李代数同构于 $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $，且Gerstenhaber括号诱导出李括号。
• 当 $ f: X \to Y $ 是零同伦映射时，有 $ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) \cong H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), \mathbb{Q}) \hat{\otimes} H^{*}(X) $，从而恢复了有理同伦论中的一个已知结果。
• 当 $ X $ 和 $ Y $ 是单连通时，有 $ \pi_n(F(X,Y)) \cong H^{1-n}(L(X), L(Y)) $，其中 $ L(X) $ 和 $ L(Y) $ 是Quillen模型，暗示该结果可超越有限性假设进行推广。
• 上同调 $ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $ 通过有理化空间与关于 $ A^{*}(Y) $ 的dga之间的反等价关系，计算了 $ F(X,Y) $ 的同伦群。