[论文解读] Angular momentum and conservation laws for dynamical black holes

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Jan 15, 2006

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用 3

一句话总结

本文利用捕获视界构建了黑洞热力学的一致动力学框架，通过与守恒定律结合的Komar积分定义了唯一的角动量。推导出包含能量、角动量和电荷通量的动力学黑洞第一定律，将经典Kerr-Newman定律推广至非定态、演化的视界，其中引力辐射通过剪切张量编码。

ABSTRACT

Black holes can be practically located (e.g. in numerical simulations) by trapping horizons, hypersurfaces foliated by marginal surfaces, and one desires physically sound measures of their mass and angular momentum. A generically unique angular momentum can be obtained from the Komar integral by demanding that it satisfy a simple conservation law. With the irreducible (Hawking) mass as the measure of energy, the conservation laws of energy and angular momentum take a similar form, expressing the rate of change of mass and angular momentum of a black hole in terms of fluxes of energy and angular momentum, obtained from the matter energy tensor and an effective energy tensor for gravitational radiation. Adding charge conservation for generality, one can use Kerr-Newman formulas to define combined energy, surface gravity, angular speed and electric potential, and derive a dynamical version of the so-called "first law" for black holes. A generalization of the "zeroth law" to local equilibrium follows. Combined with an existing version of the "second law", all the key quantities and laws of the classical paradigm for black holes (in terms of Killing or event horizons) have now been formulated coherently in a general dynamical paradigm in terms of trapping horizons.

研究动机与目标

• 为非定态时空中的动力学黑洞建立一个物理上合理且唯一的角动量度量。
• 推导出类似于能量守恒的角动量守恒定律，包含物质与引力辐射通量。
• 将黑洞力学的第一定律与零一定律推广至无需依赖Killing矢量的动力学、基于捕获视界的黑洞。
• 通过引力辐射的有效能量张量，在准局部框架下统一能量、角动量与电荷守恒。
• 通过将Kerr-Newman公式适配至捕获视界上的极限面上，定义热力学量（能量、表面引力、角速度、电势）。

提出的方法

• 使用带有扭形式的Komar积分定义角动量，通过极限面上横截性与散度为零的轴对称矢量场 $ \psi^{a} $ 确保唯一性。
• 沿叶状矢量场 $ \xi^{a} $ 施加李导数条件 $ L_{\xi}\psi^{a} = 0 $，以确保与守恒定律的一致性。
• 推导出角动量守恒定律：$ L_{\xi}J = -\oint_{S} {*} (T_{ab} + \Theta_{ab}) \psi^{a} \tau^{b} $，其中 $ \Theta_{ab} $ 是引力辐射的有效能量张量。
• 从极限面的剪切 $ \sigma_{\pm ij} $ 推导出有效能量张量 $ \Theta_{ab} $，其中 $ \Theta_{i\pm} = -\frac{1}{16\pi} h^{jk} D_k \sigma_{\pm ij} $。
• 通过Kerr-Newman公式构造广义能量 $ E $，使用不可约质量 $ M $、角动量 $ J $ 与电荷 $ Q $，以定义热力学势。
• 建立动力学第一定律：$ L_{\xi}E = \frac{\kappa}{8\pi} L_{\xi}A + \Omega L_{\xi}J + \Phi L_{\xi}Q $，其中 $ \kappa, \Omega, \Phi $ 通过 $ E $ 的热力学导数定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖Killing对称性的情况下，如何为动力学黑洞唯一定义角动量？
• RQ2 在存在引力辐射与物质通量的情况下，角动量守恒定律的形式是什么？
• RQ3 黑洞力学的第一定律能否推广至基于捕获视界的动力学黑洞？
• RQ4 引力辐射如何在捕获视界的几何中编码？
• RQ5 哪些热力学量（能量、表面引力、角速度、电势）可以在动力学视界上一致定义？

主要发现

• 通过极限面上横截性与散度为零的轴对称矢量场 $ \psi^{a} $，利用Komar积分唯一定义了角动量 $ J $，其由极限面的几何约束固定。
• 守恒定律 $ L_{\xi}J = -\oint_{S} {*} (T_{ab} + \Theta_{ab}) \psi^{a} \tau^{b} $ 对捕获视界与均匀膨胀流成立，其中 $ \Theta_{ab} $ 编码了引力辐射通量。
• 有效能量张量 $ \Theta_{ab} $ 由剪切 $ \sigma_{\pm ij} $ 推导得出，其分量 $ \Theta_{\pm\pm} = ||\sigma_{\pm}||^2 / 32\pi $ 恢复了Bondi能量通量与Isaacson辐射密度的已知结果。
• 通过Kerr-Newman公式定义了广义能量 $ E $，满足 $ E \geq M $，包含不可约质量、旋转动能与静电能的贡献。
• 推导出动力学第一定律 $ L_{\xi}E = \frac{\kappa}{8\pi} L_{\xi}A + \Omega L_{\xi}J + \Phi L_{\xi}Q $，其中热力学势 $ \kappa, \Omega, \Phi $ 定义为 $ E $ 的导数，推广了经典第一定律。
• 局部平衡对应于 $ (j_M, j_J, j_Q)^a \tau_a = 0 $，意味着 $ (M, J, Q) $ 与表面引力 $ \kappa $ 恒定，将零一定律推广至动力学视界。