[论文解读] Angular Momentum Eigenstates of the Isotropic 3-D Harmonic Oscillator: Phase-Space Distributions and Coalescence Probabilities

M. Kordell, Rainer J. Fries+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出一种相空间形式化方法，用于计算两个可区分的非相对论性粒子在各向同性三维谐振子势场中耦合形成角动量本征态的耦合概率。通过使用Wigner相空间表示法，并将三维角动量态展开为一维谐振子本征态的组合，作者推导出Wigner分布和耦合概率的解析表达式。关键结果表明，当初始波包宽度为振子长度的一半（ζ = 1）时，耦合概率在能量量子数N上服从泊松分布，且角动量态的分支由初始相对动量和位置决定。

ABSTRACT

The isotropic 3-dimensional harmonic oscillator potential can serve as an approximate description of many systems in atomic, solid state, nuclear, and particle physics. In particular, the question of 2 particles binding (or coalescing) into angular momentum eigenstates in such a potential has interesting applications. We compute the probabilities for coalescence of two distinguishable, non-relativistic particles into such a bound state, where the initial particles are represented by generic wave packets of given average positions and momenta. We use a phase-space formulation and hence need the Wigner distribution functions of angular momentum eigenstates in isotropic 3-dimensional harmonic oscillators. These distribution functions have been discussed in the literature before but we utilize an alternative approach to obtain these functions. Along the way, we derive a general formula that expands angular momentum eigenstates in terms of products of 1-dimensional harmonic oscillator eigenstates.

研究动机与目标

• 开发一种通用形式化方法，用于计算两个粒子在各向同性三维谐振子势场中形成具有确定轨道角动量的束缚态的耦合概率。
• 通过新颖的一维分解方法，推导三维各向同性谐振子中角动量本征态的Wigner相空间分布函数。
• 将该形式化方法应用于计算高斯波包初始态的耦合概率，特别关注夸克-反夸克重组形成介子的物理情境。
• 阐明最终态角动量分布对粒子初始相对动量和位置的依赖关系。

提出的方法

• 利用角动量耦合理论导出的展开系数，将三维角动量本征态展开为一维谐振子本征态乘积的形式。
• 以已知的一维谐振子态的Wigner分布为基础，通过张量积构造方法计算三维Wigner分布。
• 采用相空间形式化方法，利用高斯波包表示初始双粒子态，其特征为平均位置和动量。
• 通过在初始相空间分布上积分并加权最终束缚态的Wigner函数，推导出耦合概率。
• 采用半经典极限，使最终动量分布趋近于狄拉克δ函数，与核物理和粒子物理中的标准耦合模型一致。
• 将该形式化方法应用于介子形成问题，将最终态概率表达为一维耦合概率与自旋和轨道耦合的Clebsch-Gordan系数的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一维谐振子本征态出发，计算三维各向同性谐振子角动量本征态的Wigner相空间分布？
• RQ2 进入特定角动量态的耦合概率如何依赖于两粒子的初始相对动量和位置？
• RQ3 在何种条件下，进入特定能量本征态的耦合概率在能量量子数N上服从泊松分布？
• RQ4 初始波包宽度相对于振子长度的变化如何影响相同能量量子数下不同角动量子态的分支比？
• RQ5 初始相对角动量在决定最终态轨道角动量量子数分布中起什么作用？

主要发现

• 三维角动量本征态的Wigner相空间分布表示为无量纲相空间坐标中的高斯函数与r²、q²和r·q的N次多项式的乘积，且对所有l和m量子数均推导出显式解析表达式。
• 当初始波包宽度为谐振子长度的一半（ζ = 1）时，进入能量量子数为N的态的耦合概率在N上服从泊松分布，其速率参数与初始粒子间相空间距离的平方成正比。
• 在固定能量N下，进入不同轨道角动量态l的分支比由初始相对角动量L决定，L越大越倾向于产生l较大的态。
• 当ζ ≠ 1时，概率中的距离项与动量项发生相对缩放，其中较大的初始波包宽度倾向于减小相对距离，但允许更大的相对动量。
• 该形式化方法成功复现了文献中的已知结果，并为夸克-反夸克重组形成介子提供了系统性框架，明确给出了进入π⁺、ρ⁺、a₀(1450)、a₁(1260)和a₂(1320)等态的概率表达式。
• 推导出的介子形成概率表达为一维耦合概率与自旋统计因子的乘积，对不同介子量子数给出了显式系数。