[论文解读] Angular separability of data clusters or network communities in geometrical space and its relevance to hyperbolic embedding

Alessandro Muscoloni, Carlo Vittorio Cannistraci|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出了角分离指数（ASI），这是一种用于评估网络社区或数据聚类在几何空间（尤其是双曲空间）中通过角度坐标实现分离程度的定量度量。通过使用随机零模型进行统计显著性检验，ASI 表明在二维双曲网络模型中提高温度会引发超越二维的‘维度跃迁’，并可检测网络的内在维度。

ABSTRACT

Analysis of 'big data' characterized by high-dimensionality such as word vectors and complex networks requires often their representation in a geometrical space by embedding. Recent developments in machine learning and network geometry have pointed out the hyperbolic space as a useful framework for the representation of this data derived by real complex physical systems. In the hyperbolic space, the radial coordinate of the nodes characterizes their hierarchy, whereas the angular distance between them represents their similarity. Several studies have highlighted the relationship between the angular coordinates of the nodes embedded in the hyperbolic space and the community metadata available. However, such analyses have been often limited to a visual or qualitative assessment. Here, we introduce the angular separation index (ASI), to quantitatively evaluate the separation of node network communities or data clusters over the angular coordinates of a geometrical space. ASI is particularly useful in the hyperbolic space - where it is extensively tested along this study - but can be used in general for any assessment of angular separation regardless of the adopted geometry. ASI is proposed together with an exact test statistic based on a uniformly random null model to assess the statistical significance of the separation. We show that ASI allows to discover two significant phenomena in network geometry. The first is that the increase of temperature in 2D hyperbolic network generative models, not only reduces the network clustering but also induces a 'dimensionality jump' of the network to dimensions higher than two. The second is that ASI can be successfully applied to detect the intrinsic dimensionality of network structures that grow in a hidden geometrical space.

研究动机与目标

• 开发一种定量且具有统计基础的度量方法，用于评估数据聚类或网络社区在几何空间中的角分离程度。
• 解决先前研究依赖于双曲嵌入中角相似性的定性或视觉评估的局限性。
• 研究角坐标与网络嵌入中社区结构之间的关系。
• 检测在隐藏几何空间中生长的网络的内在维度。
• 评估温度在双曲网络生成模型中对几何和拓扑特性的影响。

提出的方法

• 提出角分离指数（ASI）作为度量几何空间中聚类或社区之间角分离程度的指标。
• 基于不同社区中节点之间的角距离定义 ASI，并通过均匀随机零模型下的期望值进行归一化。
• 引入基于均匀随机零模型的精确统计检验，以评估观测到的 ASI 值的显著性。
• 将 ASI 应用于具有不同温度参数的双曲随机图模型（例如双曲随机几何图）生成的合成网络。
• 通过分析角分离模式，利用 ASI 推断真实和合成网络的有效维度。
• 在多种网络类型和嵌入几何结构中验证 ASI 的性能，特别关注双曲空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲空间中的角分离在多大程度上可以被定量测量并进行统计验证？
• RQ2 在二维双曲网络模型中提高温度如何影响网络的几何结构和社区聚类？
• RQ3 随着温度升高，ASI 能否检测到网络结构在二维以上的‘维度跃迁’？
• RQ4 ASI 是否可用于推断嵌入在隐藏几何空间中的网络的内在维度？
• RQ5 双曲嵌入中的角坐标与已知的社区元数据之间的相关性如何？

主要发现

• 角分离指数（ASI）成功量化了合成网络和真实网络中社区之间的角分离程度。
• 在二维双曲网络模型中提高温度会导致‘维度跃迁’，即网络结构虽处于二维嵌入空间，但实际表现出更高维度的特性。
• 基于均匀零模型的统计显著性检验证实，观测到的角可分性并非偶然，验证了 ASI 的可靠性。
• ASI 能够检测在隐藏几何空间中生长的网络结构的内在维度，揭示部分网络表现出非平凡的几何组织结构。
• 本研究表明，双曲嵌入中的角坐标不仅具有定性意义，而且在社区结构分析中具有定量信息价值。
• 结果表明，即使径向层次结构并非主要信号，双曲嵌入仍可通过角分离有效保持社区结构。