[论文解读] Anisotropic Function Spaces on Singular Manifolds

Herbert Amann|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 42被引用 19

一句话总结

本文在奇异流形上的时变张量场上引入了各向异性的加权Sobolev、Bessel势和Besov空间，建立了其自反性、对偶性和插值性质。主要贡献在于通过实插值与复插值统一了具有可变正则性和权重的函数空间尺度，并在适当的范数下证明了其等价性。

ABSTRACT

A rather complete investigation of anisotropic Bessel potential, Besov, and Hölder spaces on cylinders over (possibly) noncompact Riemannian manifolds with boundary is carried out. The geometry of the underlying manifold near its 'ends' is determined by a singularity function which leads naturally to the study of weighted function spaces. Besides of the derivation of Sobolev-type embedding results, sharp trace theorems, point-wise multiplier properties, and interpolation characterizations particular emphasize is put on spaces distinguished by boundary conditions. This work is the fundament for the analysis of time-dependent partial differential equations on singular manifolds.

研究动机与目标

• 为具有奇点的流形上的各向异性加权函数空间建立系统的理论，特别是针对时变张量场。
• 通过加权范数和可变正则性参数，定义并表征各向异性的Sobolev、Bessel势和Besov空间。
• 建立这些空间的自反性、对偶性和插值性质，确保其适用于奇异区域上的PDE分析。
• 通过实插值与复插值函子统一Sobolev、Bessel势和Besov等不同尺度的函数空间。
• 为这些空间提供嵌入定理和稠密性结果，特别是在边界值和初值问题的背景下。

提出的方法

• 通过结合时间与空间正则性及权重 $ \rho^\nu $ 的范数，定义各向异性的加权Sobolev空间 $ W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}}}} $，其中 $ \to{r} = (1, 1/r) $ 且 $ \to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}} = (\nu, \nu) $。
• 通过同构嵌入到一个自反的巴拿赫空间中，建立 $ W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}} $ 的自反性。
• 通过实插值引入分数阶空间：当 $ kr < s < (k+1)r $ 时，定义 $ F^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} = (W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}}, W_{p}^{(k+1)r/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}})_{(s-kr)/r} $。
• 通过对其偶性定义负阶空间：$ F^{-s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} = ( \ring{F}^{p'\text{ }s/\to{r},-\to{\boldsymbol{\nu}}}(J,V') )' $，使用对偶配对 $ \bigl\bra{u,v}\bigr\rangle_{M\times J} $。
• 利用重迭代定理和 $ \ring{D}(J, \ring{D}) $ 在 $ L_p(J, L_p^\nu) $ 中的稠密性，证明嵌入链与插值恒等式。
• 应用复插值与实插值函子，证明当 $ k $ 为整数时 $ H_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} \doteq W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $，且 $ B_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} \doteq H_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $，从而确立尺度等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有时变张量场的奇异流形上定义各向异性的加权Sobolev空间？
• RQ2 这些各向异性函数空间的对偶性与自反性是什么？
• RQ3 在这一各向异性、加权的设定下，Bessel势空间与Besov空间如何与Sobolev空间相关联？
• RQ4 这些函数空间在不同正则性与权重参数下的嵌入与插值性质是什么？
• RQ5 在何种条件下空间 $ \ring{F}_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ 与 $ F_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ 重合，这对迹空间与迹零空间有何影响？

主要发现

• 各向异性的加权Sobolev空间 $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ 是一个自反的巴拿赫空间，因为它同构于一个自反巴拿赫空间的闭子空间。
• 等价范数由下式给出：$ \|u\|_{kr/\to{r},p;\to{\boldsymbol{\nu}}}^{\sim} = \left( \|u\|_{L_p(J,W_p^{kr,\lambda})}^p + \sum_{j=0}^k \|\partial^j u\|_{L_p(J,W_p^{(k-j)r,\lambda + j\mu})}^p \right)^{1/p} $，确保范数等价性。
• 空间 $ \ring{D}(J,\ring{D}) $ 在 $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ 中是稠密嵌入的，证实了该空间在PDE理论中的适用性。
• Bessel势空间 $ H_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $ 在整数 $ k $ 时与Sobolev空间 $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $ 重合，且 $ B_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} \doteq H_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $，表明尺度的一致性。
• 插值恒等式成立：$ (B_p^{s_0/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}, B_p^{s_1/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}})_{\theta,p} \doteq B_p^{s_\theta/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ 与 $ [F_p^{s_0/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}, F_p^{s_1/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}}]_{\theta} \doteq F_p^{s_\theta/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $，确认了尺度的稳定性。
• 当 $ \partial M \neq \emptyset $ 时 $ s < 1/p $，或当 $ \partial M = \emptyset $ 且 $ J = \mathbb{R}^+ $ 时 $ s < r(1+1/p) $，空间 $ \ring{F}_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ 与 $ F_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ 重合，确保了稠密性与正则性。