[论文解读] Anisotropic Sobolev spaces and dynamical transfer operators: C^infty foliations

Viviane Baladi|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 32

一句话总结

本文利用非一致Sobolev空间，建立了关于具有$C^\infty$稳定或不稳定叶状结构的$C^\infty$ Anosov微分同胚所关联的转移算子的本质谱半径的精确上界。结果表明，该谱半径受与Lyapunov指数和雅可比行列式增长相关的动力学量控制，扩展了Kitaev关于动力学行列式解析域的结果，并为理解SRB测度的混合速率提供了框架。

ABSTRACT

We consider a smooth Anosov diffeomorphism with a smooth dynamical foliation. We show upper bounds on the essential spectral radius of its transfer operator acting on anisotropic Sobolev spaces. (Such bounds are related to the essential decorrelation rate for the SRB measure.) We compare our results to the estimates of Kitaev on the domain of holomorphy of dynamical Fredholm determinants for differentiable dynamics.

研究动机与目标

• 分析紧流形上$C^\infty$ Anosov微分同胚所关联的转移算子$\mathcal{L}$和$\mathcal{M}$的谱性质。
• 在非一致Sobolev空间上建立这些算子本质谱半径的精确上界。
• 将这些上界与编码了双曲性及雅可比行列式增长速率的动力学量$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$相关联。
• 将Kitaev关于动力学行列式解析域结果推广至Banach空间上转移算子的谱理论。
• 通过光滑动力系统中的谱方法，为理解SRB测度相关性的衰减速率提供一个框架。

提出的方法

• 本文基于$L^t$可积性，构造了针对Anosov系统稳定与不稳定方向的非一致Sobolev空间$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}})$。
• 采用符号演算方法，并结合微局部分析技术，尤其利用了稳定或不稳定叶状结构的光滑性。
• 通过扭曲度估计和涉及转移算子的复合函数导数的Leibniz型公式，推导出关键估计。
• 证明依赖于针对非一致范数的Lasota-Yorke不等式改进版本，其中权重包含雅可比行列式$|\det DT|$。
• 分析利用了稳定或不稳定叶状结构为$C^\infty$的事实，从而能精确控制迭代下导数的增长。
• 对于$\mathcal{L}_t$和$\mathcal{M}_t$的情形，本文使用Leibniz公式的改进形式，并对雅可比行列式的导数进行估计，以控制算子范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当稳定叶状结构为$C^\infty$时，转移算子$\mathcal{L}$在非一致Sobolev空间上作用的本质谱半径是多少？
• RQ2 这些谱界如何与度量双曲性及雅可比行列式在迭代下增长的动力学量$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$相关联？
• RQ3 谱半径结果能否推广至非保测度Anosov系统？在$t \to \infty$的极限下，本质谱半径的行为如何？
• RQ4 为何$C^\infty$叶状结构假设能实现精确的谱估计？
• RQ5 这些估计与Kitaev关于动力学行列式解析域的估计相比如何？

主要发现

• 对于具有$C^\infty$稳定叶状结构的$C^\infty$ Anosov微分同胚，当$T$保测度时，在所有$p<0$，$s>0$，$t \in (1,\infty)$下，$\mathcal{L}$在$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}})$上的本质谱半径至多为$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$。
• 当$T$不保测度时，$t \to \infty$下本质谱半径的上极限受$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$控制。
• 对于转移算子$\mathcal{M}$，当不稳定叶状结构为$C^\infty$时，$\mathcal{M}$在$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}},T^{-1})$上的本质谱半径受$\lim_{n\to\infty}\sup_{\mathcal{X}}|\det DT^{n}|^{-(t-1)/tn}\cdot\rho^{(-s,-p)}_{\infty}(T)$控制。
• 本文提供了与$\rho^{(p,s)}_1(T)$相关的上界，表明$\limsup_{t\to\infty}\rho_{\text{ess}}({\mathcal{L}}|_{W^{p,s-p,t}}) \leq \lim_{n\to\infty}\|\det DT^{n}|_{E^{u}}\|_{L^{\infty}}^{1/n}\rho^{(p,s)}_1(T)$。
• 对于修正算子$\mathcal{L}_t$和$\mathcal{M}_t$，在$t$与叶状结构正则性满足适当条件时，本质谱半径受$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$控制。
• 结果是精确的，因为其与SRB测度相关性衰减速率的预期值一致，且界与“损失一半H\
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