[论文解读] Anisotropic Two-Dimensional, Plane Strain, and Plane Stress Models in Classical Linear Elasticity and Bond-Based Peridynamics

Jeremy Trageser, Pablo Seleson|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Numerical methods in engineering被引用 5

一句话总结

本文在经典线性弹性力学与基于键的微域动力学中，提出了新颖的各向异性二维、平面应变与平面应力模型，构建了一个统一框架，可直接将三维微域动力学模型约化为二维形式。核心贡献是一项计算高效、具备对称性感知能力的微域动力学公式，该公式在保持三维问题动力学特性的同时满足柯西关系，并明确处理了所有四类二维材料对称性。

ABSTRACT

This paper concerns anisotropic two-dimensional and planar elasticity models within the frameworks of classical linear elasticity and the bond-based peridynamic theory of solid mechanics. We begin by reviewing corresponding models from the classical theory of linear elasticity. This review includes a new elementary and self-contained proof that there are exactly four material symmetry classes of the elasticity tensor in two dimensions. We also summarize classical plane strain and plane stress linear elastic models and explore their connections to the pure two-dimensional linear elastic model, relying on the definitions of the engineering constants. We then provide a novel formulation for pure two-dimensional anisotropic bond-based linear peridynamic models, which accommodates all four material symmetry classes. We further present innovative formulations for peridynamic plane strain and plane stress, which are obtained using direct analogies of the classical planar elasticity assumptions, and we specialize these formulations to a variety of material symmetry classes. The presented anisotropic peridynamic models are constrained by Cauchy's relations, which are an intrinsic property of bond-based peridynamic models. The uniqueness of the presented peridynamic plane strain and plane stress formulations in this work is that we directly reduce three-dimensional models to two-dimensional formulations, as opposed to matching two-dimensional peridynamic models to classical plane strain and plane stress formulations. This results in significant computational savings, while retaining the dynamics of the original three-dimensional bond-based peridynamic problems under suitable assumptions.

研究动机与目标

• 开发经典线性弹性力学与基于键的微域动力学中各向异性二维弹性力学模型的综合框架。
• 提供关于二维弹性张量中恰好存在四类材料对称性类别的自洽证明。
• 制定与柯西关系一致、适用于所有四类二维对称性的各向异性二维微域动力学模型。
• 通过直接约化三维微域动力学模型，推导出新颖的微域动力学平面应变与平面应力公式，而非依赖于与经典公式的匹配。
• 在适当假设下，实现计算节省，同时保持原始三维微域动力学问题的动力学行为。

提出的方法

• 通过一种基础且自洽的方法推导二维弹性张量，并证明其恰好存在四类材料对称性类别。
• 利用工程常数建立经典线性弹性力学中纯二维、平面应变与平面应力模型之间的联系。
• 提出一种新型的各向异性二维基于键的微域动力学模型公式，尊重柯西关系，并可容纳所有四类二维对称性。
• 通过直接的三维至二维约化方法推导微域动力学平面应变与平面应力模型，在适当假设下保持原始动力学特性。
• 将推导出的公式特化至各类材料对称性类别，确保与经典平面弹性力学假设的一致性。
• 通过理论一致性检验验证公式，并借助模型约化展示计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维弹性张量的完整材料对称性类别集合是什么？如何以独立且基础的方式推导出这些类别？
• RQ2 如何构建二维各向异性基于键的微域动力学模型，使其满足柯西关系，同时覆盖所有四类二维对称性？
• RQ3 在不依赖于与经典模型匹配的前提下，将三维基于键的微域动力学模型正确约化为二维平面应变与平面应力公式的方法是什么？
• RQ4 所提出的三维至二维约化方法如何保持原始三维微域动力学问题的动力学行为？
• RQ5 与传统基于匹配的方法相比，所提公式的计算优势是什么？

主要发现

• 本文提供了一种新的、基础性的证明，表明二维弹性张量恰好存在四类材料对称性类别。
• 所提出的二维各向异性基于键的微域动力学模型与柯西关系一致，而柯西关系是基于键的微域动力学的基本前提。
• 平面应变与平面应力公式通过直接的三维至二维约化推导得出，在适当假设下确保与原始三维模型的动力学保真性。
• 公式已针对所有四类二维材料对称性类别进行特化，使该方法可广泛应用于各类各向异性材料。
• 该方法通过避免求解完整的三维问题，实现了显著的计算节省，同时保留了关键的物理动力学行为。
• 该方法在经典平面弹性力学与微域动力学模型之间建立了直接且一致的联系，增强了模型的互操作性与效率。