[论文解读] Annealed and quenched fluctuations for ballistic random walks in random environment on Z

Nathanaël Enriquez, Christophe Sabot+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文为在 Z 上的随机环境中球状随机游走的首次 hitting 时间的收敛性提供了新证明，证明其收敛于稳定分布，并在亚扩散（零速度） regime 中明确刻画了尺度参数。此外，本文推导了 hitting 时间的 quenched 分布，尤其在 Dirichlet 环境情况下得出了特别明确的结果。

ABSTRACT

We consider transient random walks in random environment on $\Z$ in the positive speed (ballistic) and critical zero speed regimes. A classical result of Kesten, Kozlov and Spitzer proves that the hitting time of level $n$, after proper centering and normalization, converges to a completely asymmetric stable distribution, but does not describe its scale parameter. Following [7], where the (non-critical) zero speed case was dealt with, we give a new proof of this result in the subdiffusive case that provides a complete description of the limit law. Furthermore, our proof enables us to give a description of the quenched distribution of hitting times. The case of Dirichlet environment turns out to be remarkably explicit.

研究动机与目标

• 为 Z 上亚扩散球状随机游走在随机环境中的 hitting 时间的极限稳定分布提供完整描述。
• 确定极限稳定律的尺度参数，该参数在以往工作中未被完全刻画。
• 将分析扩展至 hitting 时间的 quenched 分布，超越 annealed 极限。
• 提出一种新证明技术，以阐明零速度 regime 中极限律的结构。
• 在 Dirichlet 分布环境的特殊情况下，展示显式结果。

提出的方法

• 改编并改进 [7] 中的技术，以处理亚扩散（零速度）球状 regime。
• 通过对 hitting 时间进行中心化和归一化，推导其收敛于完全不对称稳定分布。
• 应用一种新颖的分析方法，以识别极限稳定律的尺度参数。
• 通过条件化于环境实现，推导 hitting 时间的 quenched 分布。
• 利用环境的马氏结构与更新理论，分析 hitting 时间的矩。
• 利用 Dirichlet 环境的显式形式，获得极限律参数的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Z 上的亚扩散球状随机游走中，hitting 时间的极限稳定分布的精确尺度参数是什么？
• RQ2 在此 regime 中，hitting 时间的 quenched 分布与 annealed 极限有何不同？
• RQ3 极限律是否可被完全刻画，而不仅限于依分布收敛，包括尺度参数？
• RQ4 Dirichlet 环境在实现极限律的显式计算中起到什么作用？
• RQ5 新证明技术如何改进或阐明零速度情形下的先前结果？

主要发现

• 本文对 hitting 时间的极限稳定分布提供了完整刻画，包括显式尺度参数。
• 推导出 hitting 时间的 quenched 分布，揭示了环境如何影响 hitting 时间分布的尾部行为。
• 在 Dirichlet 环境情况下，极限律可显式计算，其尺度参数具有闭式表达式。
• 新证明技术相比以往方法，在极限律推导过程中提供了更高的透明度。
• 结果确认并扩展了经典的 Kesten–Kozlov–Spitzer 结果，解决了亚扩散 regime 中尺度参数的模糊性。
• 分析表明，quenched 与 annealed 极限在其对环境实现的依赖性上存在显著差异。