[论文解读] Anomalies in (2+1)D fermionic topological phases and (3+1)D path integral state sums for fermionic SPTs

Srivatsa Tata, Ryohei Kobayashi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 3

一句话总结

该论文通过在具有 Z2 3-形式 gauge 场的玻色子影子理论中实现费米子凝聚，构建了一个 (3+1)D 组合路径积分态和，用于描述费米子对称保护拓扑序 (FSPTs)。通过在广义自旋结构上的 Grassmann 积分取消高阶形式异常，该方法计算了 (2+1)D 费米子拓扑序中的异常，并重现了时间反演对称拓扑超导体的 Z16 异常不变量，从而区分了 4-流形中的 Pin+ bordism 类与非平凡微分结构。

ABSTRACT

Given a (2+1)D fermionic topological order and a symmetry fractionalization class for a global symmetry group $G$, we show how to construct a (3+1)D topologically invariant path integral for a fermionic $G$ symmetry-protected topological state ($G$-FSPT) in terms of an exact combinatorial state sum. This provides a general way to compute anomalies in (2+1)D fermionic symmetry-enriched topological states of matter. Equivalently, our construction provides an exact (3+1)D combinatorial state sum for a path integral of any FSPT that admits a symmetry-preserving gapped boundary, including the (3+1)D topological insulators and superconductors in class AII, AIII, DIII, and CII that arise in the free fermion classification. Our construction uses the fermionic topological order (characterized by a super-modular tensor category) and symmetry fractionalization data to define a (3+1)D path integral for a bosonic theory that hosts a non-trivial emergent fermionic particle, and then condenses the fermion by summing over closed 3-form $\mathbb{Z}_2$ background gauge fields. This procedure involves a number of non-trivial higher-form anomalies associated with Fermi statistics and fractional quantum numbers that need to be appropriately canceled off with a Grassmann integral that depends on a generalized spin structure. We show how our construction reproduces the $\mathbb{Z}_{16}$ anomaly indicator for time-reversal symmetric topological superconductors with ${\bf T}^2 = (-1)^F$. Mathematically, with standard technical assumptions, this implies that our construction gives a combinatorial state sum on a triangulated 4-manifold that can distinguish all $\mathbb{Z}_{16}$ $\mathrm{Pin}^+$ smooth bordism classes. As such, it contains the topological information encoded in the eta invariant of the pin$^+$ Dirac operator, thus giving an example of a state sum TQFT that can distinguish exotic smooth structure.

研究动机与目标

• 为具有全局对称性 G 的 (3+1)D 费米子对称保护拓扑序 (FSPTs) 提供一种通用且精确的组合态和构造。
• 通过将其提升至 (3+1)D 态和，计算具有分数化对称性的 (2+1)D 费米子拓扑序中的异常。
• 通过单一态和框架统一描述自由费米子 FSPTs（例如 AII、AIII、DIII、CII 类）和满足 T2 = (−1)F 的拓扑超导体。
• 建立 Pin+ Dirac 算子的 eta 不变量与组合态和之间的联系，从而实现对 4-流形中非平凡微分结构的检测。

提出的方法

• 构建一个 (3+1)D 路径积分，用于描述一个包含涌现费米子的玻色子理论，结合了用于拓扑序的超模张量范畴和分数化对称性数据。
• 通过在闭合的 Z2 3-形式 gauge 场上求和来实现费米子凝聚，从而投影到具有全局 G 对称性的费米子理论。
• 通过依赖于广义自旋结构（如 Pin+ 结构）的 Grassmann 积分，取消高阶形式异常（例如 Sq2、w2、w21、混合异常）。
• 通过费米子环的绕数定义 Grassmann 积分，并在三角剖分流形上的 Grassmann 变量上建立其代数关系。
• 通过证明态和在具有一致分支结构和 gauge 场结构的三角剖分细化下保持不变，确保其在 Pachner 变换下的拓扑不变性。
• 通过在 RP4 上的显式计算，验证该构造正确重现了时间反演对称拓扑超导体的已知异常，如 Z16 不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个 (3+1)D 组合态和，以描述具有全局对称性 G 的费米子 SPT 相？
• RQ2 与费米统计和分数化量子数相关的高阶形式异常（如 Sq2、w2、w21）如何影响路径积分，又如何被取消？
• RQ3 该态和构造能否检测时间反演对称拓扑超导体中 T2 = (−1)F 的 Z16 异常？
• RQ4 该态和是否能区分 Pin+ bordism 类，并检测 4-流形中的非平凡微分结构？
• RQ5 在三角剖分设定下，如何通过 Z2 3-形式 gauge 场和 Grassmann 积分实现费米子凝聚过程？

主要发现

• 该态和构造为任意可实现对称性保护的能隙边界（包括自由费米子类 AII、AIII、DIII 和 CII）的费米子 SPT 提供了拓扑不变的组合路径积分。
• 通过在 RP4 的紧致胞腔剖分上进行显式计算，验证了该构造正确重现了时间反演对称拓扑超导体中 T2 = (−1)F 的 Z16 异常不变量。
• 该态和能区分所有 16 个光滑 4-流形的 Pin+ bordism 类，从而编码了 Pin+ Dirac 算子的 eta 不变量，并检测到非平凡微分结构。
• 用于异常取消的 Grassmann 积分在可定向与不可定向流形上均等价于绕数定义，确保了在各种几何结构下的统一性。
• 该态和是可逆的且与 bordism 不变，确认了其作为 TQFT 的角色，通过与 eta 不变量相同的 bordism 不变量对费米子 SPT 相进行分类。
• 该方法可推广至非阿贝尔任意子理论（如 SO(3)3），并成功使用同一框架计算了此类系统的异常。