[论文解读] Anomalies in Quantum Field Theory and Cohomologies of Configuration Spaces

Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了一个上同调框架，将量子场论中的异常与有序配置空间的de Rham上同调联系起来，表明重整化模糊性由Hochschild 1-上循环所控制。它推导出重整化上循环的微分方程，并提出一种通过中间微分扩张上的同伦算子计算重整化群作用的几何方法。

ABSTRACT

In this paper we study systematically the Euclidean renormalization in configuration spaces. We investigate also the deviation from commutativity of the renormalization and the action of all linear partial differential operators. This deviation is the source of the anomalies in quantum field theory, including the renormalization group action. It also determines a Hochschild 1-cocycle and the renormalization ambiguity corresponds to a nonlinear subset in the cohomology class of this renormalization cocycle. We show that the related cohomology spaces can be reduced to de Rham cohomologies of the so called "(ordered) configuration spaces". We find cohomological differential equations that determine the renormalization cocycles up to the renormalization freedom. This analysis is a first step towards a new approach for computing renormalization group actions. It can be also naturally extended to manifolds as well as to the case of causal perturbation theory. (This paper is based on previous preprint arXiv:0712.2194, but it has been entirely re-written and various new results are included.)

研究动机与目标

• 开发微扰QFT中重整化模糊性的上同调描述。
• 将异常的起源识别为重整化与线性微分算子之间非对易性的偏离。
• 将重整化的上同调结构简化为有序配置空间的de Rham上同调。
• 制定确定重整化上循环（至重整化自由度）的微分方程。
• 为QFT中重整化群作用的代数几何计算奠定基础。

提出的方法

• 在欧几里得配置空间中，通过滤子和初等重整化映射形式化重整化映射。
• 将重整化与微分算子之间的偏离识别为Hochschild 1-上循环。
• 将上同调方程简化为 $\mathcal{F}_n \cong \mathbb{R}^D \setminus \{0\}$ 上的有序配置空间的de Rham上同调，其中 $n > 2$。
• 引入中间微分扩张 $\widetilde{\mathcal{O}}_n \subseteq \mathcal{C}^\infty_{ \text{temp}}(\mathcal{F}_n)$，以实现上同调方程的代数解释。
• 提出通过满足 $K_n \circ d + d \circ K_n = \text{id}$ 的同伦算子 $K_n$ 解决上同调方程，其中 $K_n$ 定义在 $\widetilde{\mathcal{O}}_n$ 上。
• 将上同调方程的解构造为 $\Gamma_n = \mathcal{F}_n \circ K_n$，其中 $\mathcal{F}_n$ 为非齐次项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过配置空间上的上同调结构系统地描述QFT中的异常？
• RQ2 重整化与微分算子之间非对易性与异常出现之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否通过配置空间上的上同调方程代数地计算重整化群作用？
• RQ4 何种中间微分扩张 $\widetilde{\mathcal{O}}_n$ 允许同时实现代数解释和 $H^{D(n-1)-1}$ 在 $n > 2$ 时的平凡性？
• RQ5 如何构造同伦算子以求解控制重整化上循环的上同调方程？

主要发现

• 重整化与线性微分算子非对易性的偏离生成一个Hochschild 1-上循环，该循环编码了异常结构。
• 重整化模糊性由该上循环上同调类内的非线性子集参数化。
• 当 $n > 2$ 时，上同调空间 $H^{D(n-1)-1}(\mathcal{F}_n)$ 为平凡，意味着上同调方程完全确定了重整化上循环。
• 上同调方程被简化为有序配置空间上的de Rham上同调，从而实现了几何解释。
• 上同调方程的解由 $\Gamma_n = \mathcal{F}_n \circ K_n$ 给出，其中 $K_n$ 是满足 $K_n \circ d + d \circ K_n = \text{id}$ 的同伦算子，定义在适当的扩张 $\widetilde{\mathcal{O}}_n$ 上。
• 该框架为微扰QFT中重整化群作用的代数几何计算提供了第一步。