[论文解读] Anomalous edge states and the bulk-edge correspondence for periodically-driven two dimensional systems

Mark S. Rudner, Netanel H. Lindner+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用 8

一句话总结

本文引入了一种新的拓扑不变量——基于时间-频率域中的绕数（winding number）——完全表征了二维周期驱动系统中手征边缘态的特性，即使所有体态Floquet能带的规范陈数（Chern number）均为零。作者表明，这些‘异常’边缘态源于时间演化算符的非平庸拓扑结构，从而解决了驱动系统中静态体-边对应关系失效的关键问题。

ABSTRACT

Recently, several authors have investigated topological phenomena in periodically-driven systems of non-interacting particles. These phenomena are identified through analogies between the Floquet spectra of driven systems and the band structures of static Hamiltonians. Intriguingly, these works have revealed that the topological characterization of driven systems is richer than that of static systems. In particular, in driven systems in two dimensions (2D), robust chiral edge states can appear even though the Chern numbers of all the bulk Floquet bands are zero. Here we elucidate the crucial distinctions between static and driven 2D systems, and construct a new topological invariant that yields the correct edge state structure in the driven case. We provide formulations in both the time and frequency domains, which afford additional insight into the origins of the "anomalous" spectra which arise in driven systems. Possible realizations of these phenomena in solid state and cold atomic systems are discussed.

研究动机与目标

• 为解决在周期性驱动的二维系统中，尽管所有体态Floquet能带的陈数均为零，手征边缘态仍出现时，传统体-边对应关系失效的问题。
• 识别出决定这些‘异常’边缘态存在性与数量的拓扑不变量，该不变量无法通过标准陈数分类捕捉。
• 建立一个新框架，利用时间域与频率域相结合的拓扑不变量形式，对驱动系统中的拓扑相进行分类。
• 证明新不变量——时间演化算符的绕数——即使在非零陈数缺失的情况下，也能正确预测手征边缘模的数量。
• 为在固体系统与冷原子系统中实现和探测此类拓扑边缘态提供理论基础，这些系统通过周期性驱动实现。

提出的方法

• 定义周期驱动系统的演化算符 $ U(T, \mathbf{k}) $，其中 $ T $ 为驱动周期，并分析其在时间-频率域中的酉结构。
• 引入一个绕数不变量 $ W[U] $，通过涉及 $ U^{-1} \partial_t U $、$ U^{-1} \partial_{k_x} U $ 和 $ U^{-1} \partial_{k_y} U $ 的三形式迹表达式计算，积分区域为时间和动量空间。
• 推导出 $ W[U] $ 的显式公式，以有效哈密顿量 $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ 的谱投影 $ P(\mathbf{k}) $ 表示，表明其退化为占据能带的陈数。
• 建立绕数 $ W[U] $ 与手征边缘模数量之间的直接对应关系，证明其在陈数为零时仍能正确预测边缘态数量。
• 利用形式为 $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ 的平坦能带模型，解析验证 $ W[U] $ 等于 $ \varepsilon = -2\pi/T $ 能带的总陈数。
• 通过物理与数学推导，证明该不变量具有鲁棒性与物理意义，其与实际边缘模数量一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在二维周期驱动系统中，即使所有体态Floquet能带的陈数为零，仍会出现手征边缘态？
• RQ2 除标准陈数外，何种拓扑不变量控制了这些异常边缘态的存在性与数量？
• RQ3 如何将体-边对应关系推广至标准拓扑分类失效的驱动系统中？
• RQ4 时间演化算符的绕数与边界存在时的边缘模结构之间存在何种关系？
• RQ5 新拓扑不变量是否可在时间域与频率域中均被计算与解释？这揭示了异常谱的何种起源？

主要发现

• 本文确立了Floquet能带的传统陈数在周期性驱动的二维系统中无法预测手征边缘态，因为即使所有陈数为零，边缘态仍可出现。
• 提出一种新的拓扑不变量——绕数 $ W[U] $，并证明其能正确预测此类系统中手征边缘模的数量。
• 对于形式为 $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ 的时间平移不变、平坦能带哈密顿量，证明绕数 $ W[U] $ 等于 $ \varepsilon = -2\pi/T $ 能带的总陈数 $ \mathcal{C} $。
• 绕数由涉及时间 ordered 演化算符及其导数的迹表达式导出，提供了一个鲁棒且可计算的拓扑不变量。
• 该不变量具有物理一致性：边缘模数量 $ n_{\text{edge}} $ 等于 $ W[U] $，且与具有相同投影结构的对应静态哈密顿量中的边缘模数量一致。
• 结果表明，驱动系统的拓扑分类需要一个独立的不变量——时间-频率域中的绕数——并通过演化算符的拓扑结构，与静态框架统一。