[论文解读] Anomalous Scaling of Offspring and Generation Numbers in Branching Processes

А. И. Саичев, Agnès Helmstetter+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2003

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 12

一句话总结

本文研究了具有幂律分布生育力的随机分支过程中总后代数和代数的统计标度规律，该规律与地震余震序列相关。对于生育力幂律指数 γ < 2 的情况，推导出重尾渐近分布：总后代数的分布为 p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ)，总代数的分布为 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))，并通过数值模拟得到验证。

ABSTRACT

We consider a general stochastic branching process, which is relevant to earthquakes as well as to many other systems, and we study the distributions of the total number of offsprings (direct and indirect aftershocks in seismicity) and of the total number of generations before extinction. We apply our results to a branching model of triggered seismicity, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model. The ETAS model assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. Due to the large fluctuations of the number of aftershocks triggered directly by any earthquake (``fertility''), there is a large variability of the total number of aftershocks from one sequence to another, for the same mainshock magnitude. We study the regime where the distribution of fertilities mu is characterized by a power law ~1/\mu^(1+gamma). For earthquakes, we expect such a power-law distribution of fertilities with gamma = b/alpha based on the Gutenberg-Richter magnitude distribution ~10^(-bm) and on the increase ~10^(alpha m) of the number of aftershocks with the mainshock magnitude m. We derive the asymptotic distributions p_r(r) and p_g(g) of the total number r of offsprings and of the total number g of generations until extinction following a mainshock. In the regime \gamma<2 relevant for earhquakes, for which the distribution of fertilities has an infinite variance, we find p_r(r)~1/r^(1+1/gamma) and p_g(g)~1/g^(1+1/(gamma -1)). These predictions are checked by numerical simulations.

研究动机与目标

• 理解具有高度可变触发（生育力）的随机分支过程中总后代数和代数的统计行为。
• 使用 ETAS 模型对地震余震序列进行建模，其中每个事件可通过级联过程触发更多事件。
• 研究幂律分布生育力（指数为 γ）对总后代数和代数直至灭绝的标度特性的影响。
• 在生育力方差为无穷大的情形（即 γ < 2）下，推导总后代数 r 和总代数 g 的渐近分布。
• 通过分支过程的数值模拟验证理论预测。

提出的方法

• 形式化一个一般性的随机分支过程，其中每个个体（地震）产生一个随机数量的后代（余震），其生育力 μ 满足幂律分布 μ ~ 1/μ^(1+γ)。
• 将该模型应用于 ETAS 框架，其中主震触发余震，而每个余震又可进一步触发更多事件。
• 运用极值理论与分支过程理论，推导总后代数 r 和总代数 g 的渐近分布。
• 在 γ < 2 条件下，推导出总后代数的标度行为 p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ) 和总代数的标度行为 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))。
• 通过数值模拟验证分布的预测幂律标度。
• 将模型参数与地震学可观测量关联：γ = b/α，其中 b 为 Gutenberg-Richter b 值，α 为余震生成力与震级的依赖指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生育力方差为无穷大时，具有幂律分布生育力的分支过程中总后代数的分布如何标度？
• RQ2 此类分支过程中总代数直至灭绝的渐近分布为何？
• RQ3 后代数与代数分布的标度指数如何依赖于生育力分布的幂律指数 γ？
• RQ4 理论预测在 γ < 2 范围内与数值模拟的匹配程度如何？
• RQ5 该模型能否解释尽管主震震级相同，不同地震序列中总余震数存在显著差异的现象？

主要发现

• 当 γ < 2 时，总后代数 r 的分布呈现重尾特征：p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ)，表明总余震数存在极端变异性。
• 总代数 g 的分布标度为 p_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))，表明由于生育力分布的重尾特性，出现异常标度行为。
• 数值模拟证实了所推导的标度律，支持了在生育力方差为无穷大的情形下理论预测的可靠性。
• 总后代数的标度指数与 γ 呈反比关系，当 γ 接近 0 时，尾部更重。
• 代数分布的幂律指数比后代数分布更陡峭，反映出罕见的长寿命序列衰减更慢。
• 该模型将地震学参数联系起来：γ = b/α，其中 b 为 Gutenberg-Richter b 值，α 为余震生成力与震级的依赖指数，从而支持经验验证。