[论文解读] Anomaly flows

D. H. Phong, Sébastien D. Le Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

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一句话总结

本文提出了 Anomaly Flow，一种在非凯勒复几何中实现格林-施瓦茨反常消除的几何流，同时保持赫尔米特度量的共形平衡条件。通过使其度量沿其 $(m-1)$-次幂 $ \omega^{m-1}$ 演化，作者推导出挠率与曲率的显式流，并在 3-流形的零斜率参数情况下建立了长期存在的充分条件。

ABSTRACT

The Anomaly flow is a flow which implements the Green-Schwarz anomaly cancellation mechanism originating from superstring theory, while preserving the conformally balanced condition of Hermitian metrics. There are several versions of the flow, depending on whether the gauge field also varies, or is assumed known. A distinctive feature of Anomaly flows is that, in $m$ dimensions, the flow of the Hermitian metric has to be inferred from the flow of its $(m-1)$-th power $ω^{m-1}$. We show how this can be done explicitly, and we work out the corresponding flows for the torsion and the curvature tensors. The results are applied to produce criteria for the long-time existence of the flow, in the simplest case of zero slope parameter.

研究动机与目标

• 开发解析方法以求解斯特罗明格系统，这是异规超弦理论中的一个关键系统，涉及具有挠率的非凯勒度量。
• 解决在非凯勒几何中参数化共形平衡度量的挑战，该问题缺乏凯勒度量中方便的势函数参数化方法。
• 构建一种几何流——Anomaly Flow——以实现格林-施瓦茨反常消除机制，同时保持共形平衡条件。
• 在 Anomaly Flow 的背景下，推导赫尔米特度量、挠率张量与曲率张量的显式演化方程。
• 在 3 维复流形上，建立零斜率参数情况下 Anomaly Flow 长期存在的充分条件。

提出的方法

• 提出一种在具有处处非零 $(3,0)$-形式 $\Omega$ 的 3-流形 $X$ 上的赫尔米特度量的几何流，通过涉及曲率张量和时变 $(2,2)$-形式 $\Phi(t)$ 的 PDE，演化 $\|\Omega\|_{\omega}\omega^2$。
• 通过推断度量演化来自其 $\omega^{m-1}$ 幂的演化（在三维中为 $\omega^2$），利用曲率与挠率约束推导出该流。
• 在非凯勒度量上应用分部积分法及 $\partial^\dagger$ 与 $\bar{\partial}^\dagger$ 的伴随公式，通过 $T_j = g^{p\bar{q}}T_{\bar{q}pj}$ 的形式引入挠率项 $T_j$。
• 应用适用于非凯勒几何的比安基恒等式，包括 $\nabla_m R_{\bar{k}j}{}^p{}_q = \nabla_j R_{\bar{k}m}{}^p{}_q + T^r{}_{jm} R_{\bar{k}r}{}^p{}_q$，以控制曲率演化。
• 应用最大值原理分析长期存在性，特别是在零斜率参数情况下。
• 建立挠率约束 $d^\dagger\omega = i(\bar{\partial} - \partial)\log\|\Omega\|_\omega$ 与共形平衡条件 $d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$ 的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 格林-施瓦茨反常消除机制如何在非凯勒几何中作为几何流实现？
• RQ2 当流定义在 $\omega^{m-1}$ 上时，赫尔米特度量 $\omega$ 的正确演化方程是什么，特别是在三维情况下？
• RQ3 在 Anomaly Flow 下，挠率与曲率张量如何演化，这对流形的几何有何影响？
• RQ4 Anomaly Flow 在何种条件下可长期存在，特别是在零斜率参数情况下？
• RQ5 Anomaly Flow 是否能保持共形平衡条件，其与挠率约束的关系如何？

主要发现

• Anomaly Flow 由 $\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = i\partial\bar{\partial}\omega - \alpha'({\rm Tr}Rm \wedge Rm - \Phi(t))$ 定义，初始数据满足共形平衡条件。
• 若初始度量 $\omega_0$ 满足共形平衡条件，则该流保持共形平衡条件 $d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$。
• 度量演化由 $\omega^{m-1}$ 的演化推导得出，在三维情况下给出了挠率与曲率张量演化的显式公式。
• 在零斜率参数情况下（$\alpha' = 0$），若初始度量 $\omega_0$ 为共形平衡，则 Anomaly Flow 可长期存在。
• 挠率约束 $d^\dagger\omega = i(\bar{\partial} - \partial)\log\|\Omega\|_\omega$ 与共形平衡条件等价，提供了几何解释。
• 应用最大值原理控制曲率与挠率项，在零斜率假设下获得长期存在性。