[论文解读] Anomaly Inflow and the $\eta$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用 26

一句话总结

本文通过在 $d+1$ 维中用 Atiyah-Patodi-Singer $η$-不变量替代微扰 Chern-Simons 项，建立了费米子反常流的非微扰公式化，为微扰与全局反常提供了精确且数学上严格的描述。关键结果是通过积分掉具有 APS 边界条件的重质量体积分方子，推导出的一般反常流公式，该公式经由 Dai-Freed 定理与 cobordism 不变量验证。

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $\\eta$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $\\eta$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $\\eta$-invariant in $D$ dimensions. This $\\eta$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

研究动机与目标

• 提供一种非微扰的反常流推广，同时涵盖微扰与全局费米子反常。
• 证明在反常流中使用 Atiyah-Patodi-Singer (APS) 边界条件的 $η$-不变量是超越微扰 Chern-Simons 项的正确非微扰推广。
• 通过在具有能隙的 $d+1$ 维系统中积分掉重质量体积分方子，建立精确的反常流公式。
• 证明 Dai-Freed 定理为这种非微扰反常流构造提供了数学上一致的基础。
• 分析 $d=1,2,3,4$ 维中的全局反常，包括对拓扑绝缘体与标准模型的应用。

提出的方法

• 通过在 $d+1$ 维中对具有局部边界条件的重质量狄拉克费米子进行路径积分，导出包含 $η$-不变量的有效作用量。
• 利用 Dai-Freed 定理，将非微扰路径积分相位与具有 APS 边界条件的狄拉克算子的 $η$-不变量联系起来。
• 通过积分掉重质量体积分方子推导出一般反常流公式（公式 2.52），表明其在微扰理论中退化为 Chern-Simons 理论，但包含非微扰修正。
• 应用 cobordism 不变量与剪切-拼接论证，将全局反常条件约化为低维流形（特别是 $S^4$ 与 $S^4 \times S^1$）中的已知不变量。
• 分析 $D=5$ 维中模 2 指标的作用，作为捕捉伪实表示反常的拓扑不变量，尤其在 $\mathrm{SU}(2)$-约化规范群中。
• 利用障碍理论与同伦群分析 ($\pi_i(G)$ 对于 $i \leq 4$)，证明任何连通且单连通的规范群均可拓扑约化为 $\mathrm{SU}(2)$，其中反常完全由狄拉克算子的模 2 指标捕捉。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将反常流推广至微扰论之外，以包含非微扰（全局）反常？
• RQ2 为何具有 APS 边界条件的 $η$-不变量是反常流中 Chern-Simons 理论的正确非微扰推广？
• RQ3 Dai-Freed 定理能否用于推导任意相对论性费米子系统中反常流的精确非微扰公式？
• RQ4 cobordism 不变量在分类四维规范理论中的全局反常中起什么作用？
• RQ5 四维规范理论中的全局反常如何约化为 $S^4$ 或 $S^4 \times S^1$ 上的不变量？在此背景下，模 2 指标的含义是什么？

主要发现

• 通过在具有 APS 边界条件的 $d+1$ 维中积分掉一个重质量狄拉克费米子，推导出非微扰反常流公式（公式 2.52），其有效作用量与 $η$-不变量成正比。
• 具有 APS 边界条件的 $η$-不变量正确捕捉了微扰反常（通过 Chern-Simons）与非微扰反常，将 Dai-Freed 定理推广至反常流。
• 对于具有连通且单连通规范群的 $d=4$ 规范理论，全局反常完全由 $D=5$ 维中狄拉克算子的模 2 指标决定，当 $S^4$ 上零模式数量为偶数时该指标为零。
• 通过 cobordism 不变量与剪切-拼接论证表明，5-流形 $Y_3$ 上的反常条件 $\Upsilon_{Y_3} = 1$ 等价于 $Y_2 = S^4 \times S^1$ 上的条件，意味着基于 $S^4$ 的不变量完全捕捉了反常。
• 利用障碍理论与同伦群 $\pi_i(G)$（$i \leq 4$）可将任意 5-流形上的 $G$-丛的结构群拓扑约化为 $\mathrm{SU}(2)$，证明反常由 $\mathrm{SU}(2)$ 表示捕捉。
• 对于 $G = \mathrm{Sp}(2k)$，模 2 cobordism 不变量是基本表示中狄拉克算子的模 2 指标，当 $Y_2 = S^4 \times S^1$ 具有 Ramond 自旋结构时该指标非零，确认存在非平凡的全局反常。