[论文解读] Anomaly Inflow and the $η$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 29

一句话总结

本文通过在APS边界条件下，用Atiyah-Patodi-Singer的η不变量替代微扰的Chern-Simons项，建立了费米子异常流入的非微扰形式化，为任意时空维度中的微扰与全局异常提供了精确且数学上严格的描述。关键成果是通过η不变量统一了全局与微扰异常的异常流入一般公式，该公式通过cobordism不变性与d=1,2,3,4中的显式例子得到验证。

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $η$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $η$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $η$-invariant in $D$ dimensions. This $η$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

研究动机与目标

• 提供异常流入的非微扰推广，以同时包含微扰与全局费米子异常。
• 证明在异常流入中，Atiyah-Patodi-Singer边界条件下使用η不变量作为Chern-Simons理论的正确非微扰推广。
• 证明Dai-Freed定理为具有异常边界费米子的能隙、无异常体系统中的异常流入提供了严格的数学基础。
• 利用η不变量框架分析特定物理系统中的全局异常，包括拓扑绝缘体与标准模型。
• 证明在d=4中，对于单连通规范群的全局异常可完全由D=5中的模2指标捕获，且其成立条件为：当S⁴上的零模式数为偶数时，该指标为零。

提出的方法

• 将异常流入形式化为D=d+1维中具有APS边界条件的受质量狄拉克费米子的路径积分，从而在边界上导出η不变量的有效作用量。
• 利用Dai-Freed定理将η不变量与手征费米子的路径积分配分函数联系起来，确保与全局异常的一致性。
• 应用cobordism不变性与剪切-拼接论证，将一般规范群约化至SU(2)，表明全局异常由五维中的模2指标捕获。
• 通过D=d+1维中指数化的η不变量分析异常结构，推广了以往仅限于偶数d或可定向流形的研究结果。
• 构建d=1,2,3,4中的显式例子，包括3+1维拓扑绝缘体与标准模型，以验证非微扰异常公式。
• 利用障碍理论与同伦群分析（i≤4时的πi(G)），证明任意连通单连通规范群均可约化为SU(2)，从而简化全局异常的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将异常流入推广至微扰论之外，以包含非微扰（全局）异常？
• RQ2 为何在Atiyah-Patodi-Singer边界条件下使用η不变量是异常流入中Chern-Simons理论的正确非微扰推广？
• RQ3 Dai-Freed定理能否用于推导任意维度中异常流入振幅的精确非微扰公式？
• RQ4 在d=4中，对于单连通规范群的全局异常是否可完全由D=5中的模2指标捕获？若可，其条件为何？
• RQ5 η不变量形式如何统一凝聚态物理与高能物理中的微扰与全局异常？例如在拓扑绝缘体与标准模型中的应用？

主要发现

• 非微扰异常流入公式由具有APS边界条件的狄拉克算子的指数化η不变量给出，推广了Chern-Simons作用量，使其包含全局异常。
• Dai-Freed定理为η不变量作为异常流入中Chern-Simons作用量的正确非微扰推广提供了严格的数学基础。
• 在d=4中，对于连通且单连通规范群的全局异常，完全由D=5中狄拉克算子的模2指标捕获，当S⁴上的零模式数为偶数时，该指标为零。
• 对于满足π₄(G) = ℤ₂的规范群G（如Sp(2k)），全局异常可通过在S⁴×S¹上使用Ramond边界条件的模2指标检测，证实了η不变量在异常检测中的作用。
• 通过cobordism不变性与剪切-拼接论证，表明任意连通单连通G的异常结构等价于SU(2)的情况，从而将全局异常的分类简化为SU(2)情形。
• 该分析确认了3+1维拓扑绝缘体中的电磁θ角由η不变量捕获，为该系统中的异常提供了非微扰描述。