[论文解读] Anosov AdS representations are quasi-Fuchsian

Quentin Mérigot|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文证明了 cocompact lattice Γ ⊂ SO₀(1,n) 到 SO₀(2,n) 的 Anosov 表示是拟 Fuchsian 的，即它们是离散的、忠实的，并在反 de Sitter 空间的边界上保持一个无因果的 (n−1)-球面。证明依赖于测地流的 Anosov 动力系统，以及存在 ρ-等变的、双曲的边界映射，该映射诱导了从双曲空间边界到 AdS 空间爱因斯坦边界的一个拓扑嵌入。

ABSTRACT

Let Gamma be a cocompact lattice in SO(1,n). A representation rho: Gamma o SO(2,n) is quasi-Fuchsian if it is faithfull, discrete, and preserves an acausal subset in the boundary of anti-de Sitter space - a particular case is the case of Fuchsian representations, ie. composition of the inclusions of Gamma in SO(1,n) and of SO(1,n) in SO(2,n). We prove that if a representation is Anosov in the sense of Labourie then it is also quasi-Fuchsian. We also show that Fuchsian representations are Anosov : the fact that all quasi-Fuchsian representations are Anosov will be proved in a second part by T. Barbot. The study involves the geometry of locally anti-de Sitter spaces: quasi-Fuchsian representations are holonomy representations of globally hyperbolic spacetimes diffeomorphic to the product R imes Gamma\H^n and locally modeled on the anti-de Sitter space.

研究动机与目标

• 建立到 SO₀(2,n) 的 Anosov 表示是拟 Fuchsian 的，即它们是离散的、忠实的，并在反 de Sitter 空间的边界上保持一个无因果的 (n−1)-球面。
• 证明 Fuchsian 表示（即 SO₀(1,n) 到 SO₀(2,n) 的嵌入）是 Anosov 的，从而在 AdS 几何中完成刚性与动力系统之间基础性的联系。
• 表明 Anosov 性质意味着存在一个从双曲空间单位切丛到 AdS 空间边界上的 ρ-等变、双曲的边界映射。
• 建立边界映射的像是一个拓扑无因果球面，这在 AdS 设置中刻画了拟 Fuchsian 表示。

提出的方法

• 利用双曲空间 T¹ℍⁿ 上测地流 φᵗ 的 Anosov 动力系统，该流被提升到商流 Γ\T¹ℍⁿ 上的平坦丛上。
• 构造一族在 x ∈ ℍⁿ 上连续变化的 ρ-等变度量 gˣ，定义在反 de Sitter 空间的边界 Einₙ 上，这些度量沿测地线具有指数增长。
• 利用 ℍⁿ 中测地线的端点，定义一个 ρ-等变的边界映射 (ℓ₊, ℓ₋): T¹ℍⁿ → ∂AdSₙ₊₁ × ∂AdSₙ₊₁ \\(对角线)。
• 利用度量 gˣ 的指数增长，证明该映射的像是平坦丛上 φₜ-不变的双曲集。
• 将表示 ρ₀（Fuchsian）形变到邻近的表示，并利用双曲集的结构稳定性，证明存在一个连续截面，从而提升为一个 ρ-等变的边界映射。
• 建立边界映射 ℓ₊ 和 ℓ₋ 满足 ℓ₊ = ℓ₋ ∘ α，其中 α 反转切向量的方向，意味着它们具有相同的像，且是到一个无因果球面上的同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 到 SO₀(2,n) 的 Anosov 表示是否必然为拟 Fuchsian，即它们是否在反 de Sitter 空间的边界上保持一个无因果的 (n−1)-球面？
• RQ2 表示的 Anosov 性质是否意味着存在一个取值于 AdSₙ₊₁ 爱因斯坦边界上的 ρ-等变、双曲的边界映射？
• RQ3 边界映射 ℓ₊: ∂ℍⁿ → Einₙ 的像是一个拓扑 (n−1)-球面吗？它是否是无因果的？
• RQ4 能否利用 Γ\T¹ℍⁿ 上平坦丛中双曲集的结构稳定性，将边界映射的存在性推广到 Fuchsian 表示的小形变？
• RQ5 Anosov 条件是否确保边界映射诱导一个从 ∂ℍⁿ 到 Einₙ 中一个拓扑球面的同胚，从而在该设定中刻画了拟 Fuchsian 表示？

主要发现

• Anosov 表示 ρ: Γ → SO₀(2,n) 是拟 Fuchsian 的，即它们是离散的、忠实的，并在反 de Sitter 空间的边界上保持一个无因果的 (n−1)-球面。
• Anosov 性质意味着存在一个 ρ-等变的边界映射 (ℓ₊, ℓ₋): T¹ℍⁿ → ∂AdSₙ₊₁ × ∂AdSₙ₊₁ \\(对角线)，该映射可提升为平坦丛 Eρ 上的连续截面。
• 边界映射 ℓ₊: ∂ℍⁿ → Einₙ 的像是一个拓扑 (n−1)-球面，且 ℓ₊ 与 ℓ₋ 具有相同的像，该像是无因果的。
• 边界映射 ℓ₊ 与 ℓ₋ 满足 ℓ₊ = ℓ₋ ∘ α，其中 α 反转切向量的方向，从而保证了映射的对称性与单射性。
• 存在一个 ρ-等变的度量族 gˣ 在 Einₙ 上，其沿测地线具有指数增长，这确保了边界映射的像是提升流 φₜρ 下的双曲集。
• Fuchsian 表示被证明是 Anosov 的，从而在该语境中完成了 Fuchsian 与 Anosov 表示之间的等价性，而反向（所有拟 Fuchsian 表示都是 Anosov）在 Barbot 的后续工作中已建立。