[论文解读] Anosov Endomorphisms on the 2-torus: Regularity of foliations and rigidity

Marisa Cantarino, Régis Varão|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文通过将稳定与不稳定叶状结构的正则性与李雅普诺夫指数等价性联系起来，建立了二维环面上阿诺索夫自同态之间光滑共轭的充分条件。利用一致有界密度（UBD）性质和密度的拟保测性，证明了若两个 Ck（k ≥ 2）阿诺索夫自同态通过同伦于恒等映射的共轭映射拓扑共轭，且在对应周期点处具有相同的李雅普诺夫指数，则该共轭为 Ck。该结果对特殊阿诺索夫自同态及其线性化给出了光滑共轭的完整刻画。

ABSTRACT

We provide sufficient conditions for smooth conjugacy between two Anosov endomorphisms on the 2-torus. From that, we also explore how the regularity of the stable and unstable foliations implies smooth conjugacy inside a class of endomorphisms including, for instance, the ones with constant Jacobian. As a consequence, we have in this class a characterization of smooth conjugacy between special Anosov endomorphisms and their linearizations.

研究动机与目标

• 建立二维环面上非可逆阿诺索夫自同态之间光滑共轭的充分条件。
• 研究稳定与不稳定叶状结构的正则性如何影响拓扑共轭的光滑性。
• 将可逆阿诺索夫微分同胚情形下的刚性结果推广至非可逆自同态情形。
• 通过李雅普诺夫指数匹配，对特殊阿诺索夫自同态（每点仅一个不稳定方向）的光滑共轭进行刻画。
• 通过引入弱于常数雅可比行列式的几何假设（UBD、拟保测性），推广 Micena 与 Gu-Shi 的先前结果。

提出的方法

• 应用 Jean-Lin Journé 的正则性引理，沿横截叶状结构传播共轭映射 h 的 Ck 正则性。
• 利用一致有界密度（UBD）性质，控制迭代过程中不稳定叶上测度的畸变。
• 引入密度的拟保测性条件：对每个叶 W 和迭代 k，诱导测度之比被常数 C 统一有界。
• 利用 UBD 与拟保测性可推出测度的统一等价性（如 mkx, Fk∗m0F−k(x) 等），其界依赖于 C。
• 结合 Birkhoff 恒等定理与李雅普诺夫指数定义，证明 f 的不稳定指数等于其线性化 A 的不稳定指数。
• 证明若周期点处的李雅普诺夫指数匹配且共轭同伦于恒等映射，则 h 为 Ck。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个 T2 上的阿诺索夫自同态之间的拓扑共轭是光滑的？
• RQ2 稳定与不稳定叶状结构的正则性如何影响共轭映射的光滑性？
• RQ3 能否在保持光滑共轭刚性的同时放宽常数雅可比行列式条件？
• RQ4 密度的拟保测性在确保共轭正则性方面起什么作用？
• RQ5 对于 T2 上的特殊阿诺索夫自同态，光滑共轭是否等价于所有周期点处的李雅普诺夫指数匹配？

主要发现

• 若两个 Ck（k ≥ 2）的阿诺索夫自同态 f 与 g 在 T2 上通过同伦于恒等映射的映射 h 拓扑共轭，且在对应周期点处李雅普诺夫指数匹配，则 h 为 Ck。
• 对于特殊阿诺索夫自同态（每点仅一个不稳定方向），其与线性化的光滑共轭等价于所有周期点处不稳定李雅普诺夫指数的匹配。
• UBD 性质与密度的拟保测性提供了弱于常数雅可比行列式的几何条件，但结合李雅普诺夫指数匹配后，仍能推出 Ck 共轭。
• 若 f 与 g 为 C∞，则共轭 h 也为 C∞，即使在非可逆情形下亦成立。
• 证明表明，f 的不稳定李雅普诺夫指数等于其线性化 A 的不稳定指数，且由雅可比行列式守恒，稳定指数也匹配。
• 该结果推广了 Micena 与 Gu-Shi 的先前工作，并对 T2 上特殊阿诺索夫情形下的光滑共轭给出了完整刻画。