[论文解读] Another four critical points theorem

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在变分分析中建立了一个新的四临界点定理，通过利用近期关于严格 minimax 不等式的结果，消除了对显式 minimax 不等式假设的需求，从而扩展了先前的结果。关键贡献是针对涉及三个扰动的泛函，给出了临界点的多重性结果，并将其应用于一类拟线性椭圆 Dirichlet 问题，证明了至少存在四个临界点（包括两个全局极小点和一个严格局部极小点）。

ABSTRACT

In this paper, making use of Theorem 2 of [5], we establish a new four critical points theorem which can be regarded as a companion to Theorem 1 of [4]. We also present an application to the Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic equations.

研究动机与目标

• 建立一个新的四临界点定理，作为 [4] 中定理 1 的补充，且无需在假设中显式要求 minimax 不等式。
• 通过利用 [5] 中的定理 2，该定理在一般条件下确保严格 minimax 不等式的有效性，从而扩展了变分问题中全局极小点多重性结果的适用范围。
• 为反射性 Banach 空间中一类扰动能量泛函的存在至少四个临界点（包括两个全局极小点和一个严格局部极小点）提供充分条件。
• 将抽象结果应用于拟线性椭圆方程的 Dirichlet 问题，证明在非线性项满足增长和渐近条件时，存在多个弱解。
• 展示对于具有三个非线性项的 $p$-Laplacian 型方程，存在三个非零弱解，其中两个是能量泛函的全局极小点。

提出的方法

• 证明依赖于结合 [3] 中的定理 1（保证某类泛函至少存在两个全局极小点）与 [5] 中的定理 2（在序列下半连续性和下紧性条件下确保严格 minimax 不等式）。
• 主要定理由反射性实 Banach 空间 $X$ 中的泛函 $I$ 确立，其中 $I$ 是序列弱下半连续、强制且 $C^1$，其导数具有连续逆。
• 该方法涉及分析泛函 $\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$，其中 $J$、$\Psi$ 和 $\Phi$ 是 $C^1$ 泛函且导数具有紧性，并对其渐近行为和局部行为施加条件。
• 关键技术工具包括：泛函的下紧性和下半连续性、$I$ 的强制性，以及在 $x_0$ 处存在一个严格局部极小点且所有泛函在此处取零值。
• 证明使用弱拓扑论证以确保极小化序列的存在性，并通过构造合适的 $r > \sup_{M_\nu} \Phi$ 和定义 $\mu^*$ 来建立严格 minimax 不等式。
• 在 Dirichlet 问题上的应用通过在 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中识别 $I(u) = \frac{1}{p}\|u\|^p$，$J(u) = -J_h(u)$，$\Psi(u) = -J_f(u)$，和 $\Phi(u) = J_g(u)$ 实现，并利用 $f$、$g$ 和 $h$ 的逐点增长和符号条件验证抽象假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不预先假设严格 minimax 不等式的情况下建立四临界点定理？
• RQ2 在何种条件下，泛函 $I$、$J$、$\Psi$ 和 $\Phi$ 的组合使得扰动泛函 $\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$ 至少存在四个临界点？
• RQ3 对非线性项 $f$、$g$ 和 $h$ 需要满足何种增长和渐近条件，才能保证 $p$-Laplacian Dirichlet 问题存在多个弱解？
• RQ4 如何将抽象临界点结果应用于证明 PDE 设置下存在两个全局极小点和一个严格局部极小点？
• RQ5 存在一点 $x_1$ 满足 $J(x_1)$、$\Psi(x_1)$ 和 $\Phi(x_1)$ 均为负值，在确保解的多重性中起何作用？

主要发现

• 本文建立了新的四临界点定理（定理 1），其假设中无需显式包含 minimax 不等式，而是依赖于 [5] 中的定理 2 来在一般条件下确保严格 minimax 不等式成立。
• 对于每个 $\nu > \max\left\{0, -\frac{I(x_1)}{J(x_1)}\right\}$ 和 $\mu > \max\left\{0, -\liminf_{x\to x_0}\frac{\Psi(x)}{I(x)}, \inf_{r > \sup_{M_\nu}\Phi} \mu^*(I+\nu J, \Psi, \Phi, r)\right\}$，泛函 $\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$ 至少存在四个临界点。
• 在四个临界点中，一个为 $x_0$ 处的严格局部极小点，另两个为该泛函的全局极小点。
• 在 $p$-Laplacian Dirichlet 问题（定理 2）中的应用表明，对每个充分大的 $\nu > 0$，存在 $\epsilon_\nu > 0$，使得对所有 $\epsilon \in (0, \epsilon_\nu)$，问题至少存在三个非零弱解。
• 其中两个弱解是 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中对应能量泛函的全局极小点，这由抽象定理保证。
• 存在一个测度正的可测集 $B \subset \Omega$ 和一个值 $\xi_1$，使得在 $B$ 上几乎处处有 $\max\{-F(x,\xi_1), G(x,\xi_1), -H(x,\xi_1)\} < 0$，这是确保解多重性的关键条件。