[论文解读] Another Proof of the Fact that Polyhedral Cones are Finitely Generated

Volker Kaibel|ArXiv.org|Dec 15, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出一种新的归纳性证明，表明每个多面锥都是有限生成的，利用矩阵行列式与核维数分析。证明表明，生成元可从定义不等式矩阵的子式显式构造，确保其为有理数且编码长度为多项式级别。

ABSTRACT

In this note, we work out a simple inductive proof showing that every polyhedral cone K is the conic hull of a finite set X of vectors. The base cases of the induction are linear subspaces and linear halfspaces of linear subspaces. The proof also shows that the components of the vectors in X can be chosen (up to their sign) to be quotients of subdeterminants of the coefficient matrix of any inequality system defining K.

研究动机与目标

• 提供一种简单、归纳性的证明，表明每个多面锥都是有限生成的，避免依赖面或维数等几何概念。
• 确立多面锥的生成元可从系数矩阵的子式之商显式构造。
• 证明这些生成元属于 Δ(A)^n，其中 Δ(A) 由 A 的子式之商构成，从而确保其为有理数且编码长度为多项式级别。
• 通过按不等式数量进行归纳，证明该证明可推广至 Weyl-Minkowski 定理的完整形式，涵盖有界与无界情形。
• 提供一种构造性、初等的证明，支持线性规划的多项式可解性及整数规划可行性问题的 NP 成员资格。

提出的方法

• 对定义多面锥的系统中不等式的数量进行归纳，从线性子空间和半空间开始。
• 应用引理 1 处理两种情形：当核交集维数较高（可通过基向量实现有限生成）时，以及当存在向量 z 满足 z, -z ∉ K 时。
• 对于后一种情形，利用不等式矩阵行和空间的正交补空间寻找此类 z，借助正交性与符号条件。
• 通过将锥与设定某一不等式为等式的低维子空间相交来构造生成元，从而实现问题的归纳化约简。
• 证明锥中任意点 x 可表示为这些低维锥的生成集并集中的点的锥组合。
• 利用存在 λ* ≥ 0 使得 x + λ*z ∈ K_i^*，且类似地 -z 也满足该条件，将 x 表示为两个并集生成集中点的锥组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种简单、归纳性的证明，表明每个多面锥都是有限生成的，且不依赖于面等几何概念？
• RQ2 由系统 Ax ≤ 0 定义的多面锥的有限生成集的显式结构是什么？
• RQ3 生成元的分量能否以系数矩阵 A 的子式为界？
• RQ4 约束矩阵的核维数如何影响有限生成集的存在性？
• RQ5 在何种条件下，可确保存在向量 z 使得 z 和 -z 均不在锥中，从而支持归纳构造？

主要发现

• 由 Ax ≤ 0 定义的每个多面锥都是 Δ(A)^n 中有限集 X 的锥包，其中 Δ(A) 由 A 的子式之商构成。
• 该证明表明，生成元可选取为 A 的子式之商（符号除外）的分量。
• 归纳证明通过基于不等式数量进行归纳，避免使用几何概念，其基例为线性子空间和线性半空间。
• 当核交集维数至少为 dim(ker(C)) - 1 时，锥由核基向量导出的有限集生成。
• 若不存在此类高维核交集，则存在向量 z 使得 z, -z ∉ K，从而可通过锥组合构造生成元。
• 该构造确保锥中任意点可表示为低维锥生成集并集中的点的锥组合，从而证明有限生成性。