[论文解读] Another proofs of the geometrical forms of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and inversion formulas for the Dunkl interwining operator and for its dual

Khalifa Trimèche|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文为Dunkl变换的Paley-Wiener定理的几何形式提供了替代证明，并建立了Dunkl交错算子$V_k$及其对偶${}^tV_k$的反演公式。通过使用伪微分算子和$V_k$与${}^tV_k$的对偶测度，推导出反演算子的表示分布的显式表达式，扩展了Dunkl调和分析中这些算子结构的先前结果。

ABSTRACT

In this paper we present another proofs of the geometrical forms of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform given in [15], and we prove inversion formulas for the Dunl interwining operator Vk and for its dual tVk and we deduce the expression of the representing distributions of the inverse operators vk(-1) and tvk(-1).

研究动机与目标

• 为[15]中已建立的Dunkl变换的Paley-Wiener定理的几何形式提供新的替代证明。
• 推导Dunkl交错算子$V_k$及其对偶${}^tV_k$的反演公式。
• 以$V_k$与${}^tV_k$的对偶测度为基准，显式刻画反演算子$V_k^{-1}$与${}^tV_k^{-1}$的表示分布。
• 通过伪微分算子$P$与$Q$及其转置，表征反演算子。
• 在满足对所有$\alpha \in R_+$有$k(\alpha) \in \mathbb{N}$的条件下，建立$V_k^{-1}$与${}^tV_k^{-1}$的显式分布表示。

提出的方法

• 利用Dunkl交错算子的积分表示：$V_k(f)(x) = \int_{\mathbb{R}^d} f(y) \, d\mu_x(y)$，其中$\mu_x$为紧支集的概率测度。
• 采用对偶算子${}^tV_k(f)(y) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, d\nu_y(x)$，其中$\nu_y$支撑于$\{x : \|x\| \geq \|y\|\}$的集合上。
• 引入伪微分算子$P$与$Q$，使得$V_k^{-1}(f)(x) = {}^tV_k(Q(f))(x)$且${}^tV_k^{-1}(f)(x) = V_k(P(f))(x)$。
• 应用算子的转置公式：$\langle {}^tP(S), f \rangle = \langle S, P(f) \rangle$与$\langle {}^tQ(S), f \rangle = \langle S, Q(f) \rangle$。
• 推导出反演算子的分布表示：$\eta_x = {}^tQ(\nu_x)$与$Z_x = {}^tP(\mu_x)$。
• 在条件$k(\alpha) \in \mathbb{N}$下，将${}^tP$与${}^tQ$表示为包含Dunkl算子$T_j$与偏导数的微分算子的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用替代方法重新证明Dunkl变换的Paley-Wiener定理的几何形式？
• RQ2 Dunkl交错算子$V_k$及其对偶${}^tV_k$的反演公式是什么？
• RQ3 如何以$\mu_x$与$\nu_x$的对偶测度为基准，显式刻画$V_k^{-1}$与${}^tV_k^{-1}$的表示分布？
• RQ4 伪微分算子$P$与$Q$在表达反演算子中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，反演算子可表示为作用于对偶测度的转置微分算子？

主要发现

• 本文为Dunkl变换的几何Paley-Wiener定理提供了替代证明，确认了Dunkl变换像集在指数型整函数下的刻画。
• 建立了$V_k^{-1}$的反演公式：对所有$f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$，有$V_k^{-1}(f)(x) = {}^tV_k(Q(f))(x)$，其中$Q$为伪微分算子。
• ${}^tV_k^{-1}$的反演公式为${}^tV_k^{-1}(f)(x) = V_k(P(f))(x)$，其中$P$为伪微分算子。
• 证明了$V_k^{-1}$的表示分布$\eta_x$为$\eta_x = {}^tQ(\nu_x)$，其中$\nu_x$是${}^tV_k$的表示测度。
• ${}^tV_k^{-1}$的表示分布$Z_x$由$Z_x = {}^tP(\mu_x)$给出，其中$\mu_x$为$V_k$的测度。
• 在条件$k(\alpha) \in \mathbb{N}$下，算子${}^tP$与${}^tQ$被显式表示为包含Dunkl算子$T_j$与偏导数的微分算子的乘积，从而得到$\eta_x = \left[\prod_{\alpha \in R_+} (\alpha_1 T_1 + \cdots + \alpha_d T_d)^{2k(\alpha)} \right](\nu_x)$与$Z_x = \left[\prod_{\alpha \in R_+} (\alpha_1 \partial_{\xi_1} + \cdots + \alpha_d \partial_{\xi_d})^{2k(\alpha)} \right](\mu_x)$。