[论文解读] Another state entanglement measure

O. A. Nagel, G. A. Raggio|ArXiv.org|Jun 3, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文为张量积上的无幺C*-代数上的量子态ω提出了一种新的纠缠度量E(ω)，定义为分解态与其乘积边缘态之间相对熵之和的下确界。该度量满足关键物理性质：对可分态为零，关于局部操作不变，并通过相对熵的变分表达式为纠缠检测提供下界。

ABSTRACT

We propose a measure of state entanglement for states of the tensor-product of C*-algebras.

研究动机与目标

• 为由C*-代数描述的复合量子系统定义一种物理上有意义的纠缠度量。
• 确保该度量在局部*-同构下不变，并在局部量子操作与经典通信（LQCC）下单调递减。
• 建立纠缠与态相对于其乘积边缘态的相对熵之间的联系。
• 利用Kosaki的相对熵变分公式，为纠缠提供可计算的下界。
• 阐明该度量与乘积态凸组合闭包之间的关系。

提出的方法

• 将纠缠度量定义为 E(ω) = inf_{[λ_j, ω_j] ∈ D_ω} ∑_j λ_j S(ω_j, ω_j^A ⊗ ω_j^B)，其中 S 表示相对熵。
• 采用 Araki 对C*-代数上态的相对熵定义，特别是在希尔伯特空间上密度算子的情形下。
• 通过证明 E(ω∘(α⊗β)) = E(ω) 对任意*-同构 α 和 β，建立在局部*-同构下的不变性。
• 通过证明对于与边缘化可交换的 Schwarz-正、连续映射 γ，有 E(ω∘γ) ≤ E(ω)，证明其在 LQCC 操作下的单调性。
• 将 E(ω) 的消失性表征为 ω 属于乘积态凸包的 w*-闭包，即 ω 为可分态。
• 通过在以 ω 为形心的测度空间上的变分表示，将 E(ω) 表示为 Radon 测度上的下确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种既具有物理意义又在局部操作下不变的新纠缠度量？
• RQ2 所提出的度量是否仅在可分态（即乘积态凸组合的闭包中）时为零？
• RQ3 能否利用 Kosaki 的相对熵变分公式为该度量提供下界？
• RQ4 该度量在局部量子操作与经典通信（LQCC）下是否单调？
• RQ5 该度量能否表示为在给定形心下概率测度上的下确界？

主要发现

• 该度量满足 0 ≤ E(ω) ≤ S(ω, ω^A ⊗ ω^B)，当 ω 为纯态时上界取等。
• E(ω) = 0 当且仅当 ω 属于乘积态凸包的 w*-闭包，即 ω 为可分态。
• 该度量是凸的但非仿射的，并且在局部*-同构下不变。
• 对于任意单位元、连续、Schwarz-正且与边缘化可交换的映射 γ，有 E(ω∘γ) ≤ E(ω)，确认其在 LQCC 操作下的单调性。
• 不等式 E((ω₁⊗⋯⊗ωₙ)∘ζₙ) ≤ ∑_j E(ω_j) 成立，但一般不取等，与先前关于可加性的断言相矛盾。
• 该度量具有变分表示：E(ω) = inf_{μ∈M_ω} ∫ S(φ, φ^A⊗φ^B) dμ(φ)，且该下确界可由某个 μ₀ 达到。