[论文解读] Answers to Some Questions about Explicit Sinkhorn Limits posed by Mel Nathanson

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 4

一句话总结

本文为具有正元素的 3×3 对称矩阵的 Sinkhorn 极限提供了显式的代数公式，利用 Gröbner 基求解对角缩放矩阵。推导出双随机极限矩阵及其缩放因子的闭式表达式，作为原始矩阵元素的四次方程的根，解决了 Mel Nathanson 提出的关于显式 Sinkhorn 极限和算法有限终止的开放问题。

ABSTRACT

At the Jan. 2018 Joint Mathematics Meetings, Avi Wigderson gave a series of three fascinating lectures whose starting point was the Sinkhorn algorithm. One of the people in the audience was Mel Nathanson, and this lead him to ask some intriguing questions, some of which we answer in this note.

研究动机与目标

• 为 Mel Nathanson 所请求的具有正元素的 3×3 对称矩阵的 Sinkhorn 极限提供显式代数表达式。
• 通过构造此类情况下的显式例子，解决 Nathanson 关于 Sinkhorn 算法是否可在有限步内终止的疑问。
• 通过 Gröbner 基技术证明 Sinkhorn 极限可表示为系数属于原始矩阵元素的四次方程的根。
• 将分析扩展至具有符号或数值参数的特殊对称 3×3 矩阵情形，为其 Sinkhorn 极限提供闭式解。

提出的方法

• 作者使用 Maple 工具包 SINKHORN.txt，实现 Buchberger 算法以计算 Gröbner 基，对定义 Sinkhorn 极限的方程组进行符号求解。
• 对于一般的 3×3 对称矩阵，该方法推导出关于变量 $ z $ 的四次方程，其正根决定对角矩阵 $ X $ 的缩放因子，其中 $ s_{11} = a_{11}z $。
• 该方法以符号形式应用 Sinkhorn 算法的交替行与列归一化操作，然后施加双随机性条件以导出多项式约束。
• 通过构造 Sinkhorn 算法在两步内终止的显式例子，验证了解的正确性，确认了某些矩阵的有限收敛性。
• 对于含参数元素的特殊情况（如 $ K, L, M $），该方法推导出简化后的四次方程，其根可给出 Sinkhorn 极限与缩放矩阵。
• 该方法可推广至更大的 $ n imes n $ 对称矩阵，尽管定义方程的次数随 $ 2^{n-1} $ 增长，使得 $ n \geq 4 $ 时符号计算不可行。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有正元素的 3×3 对称矩阵的 Sinkhorn 极限能否以矩阵元素的代数表达式形式给出闭式表达？
• RQ2 是否存在 Sinkhorn 算法在有限步内终止的矩阵？若存在，能否显式构造出此类矩阵？
• RQ3 能否使用 Gröbner 基技术推导出 Sinkhorn 极限与缩放矩阵的精确代数表达式？
• RQ4 缩放因子的定义多项式的结构是什么？其次数如何随矩阵大小变化？
• RQ5 对矩阵 $ A(r) $（其元素为 $ \frac{r(r+1)}{2}, 1, 1 $）应用 Sinkhorn 算法时，是否对一般 $ r $ 在有限步内终止？

主要发现

• 对于一般的 3×3 对称矩阵 $ A $，其 Sinkhorn 极限 $ S $ 显式表示为 $ s_{11} = a_{11}z $，其中 $ z $ 是 $ A $ 元素的四次方程的正根，其系数为 8 次齐次多项式。
• 对角缩放矩阵 $ X $ 满足 $ x_{11} = \sqrt{z} $，其余 $ X $ 和 $ S $ 的元素可通过公开 URL 获取，但因过长而未包含在本文中。
• 对于矩阵 $ A = \begin{pmatrix} K & 1 & 1 \\ 1 & L & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $，Sinkhorn 极限由 $ z $ 的四次方程决定，其系数依赖于 $ K $ 和 $ L $，且对特定 $ K, L $ 值，算法在两步内终止。
• 对于矩阵 $ A = \begin{pmatrix} K & 1 & 1 \\ 1 & L & 1 \\ 1 & 1 & M \end{pmatrix} $，Sinkhorn 极限再次由 $ z $ 的四次方程给出，其系数涉及 $ K, L, M $，且解可显式计算。
• 本文构造了一个矩阵 $ M = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 2 \\ 9 & 3 & 3 \end{pmatrix} $，其仅经两轮迭代即达 Sinkhorn 极限，证实非双随机矩阵亦可实现有限终止。
• 对于矩阵 $ A(r) $，其中 $ a_{11} = \frac{r(r+1)}{2} $，其 Sinkhorn 极限被显式计算为 $ S(r) $，且仅当 $ r = 1 $ 或 $ r = -2 $ 时算法在有限步内终止，如符号迭代中持续存在的非零行和差异所示。