[论文解读] Anti-concentration for polynomials of Rademacher random variables and applications in complexity theory

Raghu Meka, Hoi H. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

本文为独立 Rademacher 随机变量的多项式建立了强有力的反集中不等式，将经典的 Littlewood-Offord 结果推广至任意次数。该研究将这些界应用于证明计算奇偶函数的近最优下界，并推导出随机图中子图计数的一般反集中结果，解决了复杂性理论与随机图论中的开放问题。

ABSTRACT

We prove anti-concentration results for polynomials of independent random variables with arbitrary degree. Our results extend the classical Littlewood-Offord result for linear polynomials, and improve several earlier estimates. We discuss applications in two different areas. In complexity theory, we prove near optimal lower bounds for computing the Parity, addressing a challenge in complexity theory posed by Razborov and Viola, and also address a problem concerning OR functions. In random graph theory, we derive a general anti-concentration result on the number of copies of a fixed graph in a random graph.

研究动机与目标

• 将经典的反集中结果（如 Littlewood-Offord）推广至独立 Rademacher 随机变量的任意次数多项式。
• 解决 Razborov 与 Viola 提出的复杂性理论中关于计算奇偶函数下界的一个长期挑战。
• 解决计算复杂性中与 OR 函数相关的开放问题。
• 推导出 Erdős–Rényi 随机图中固定图副本数的一般反集中不等式。

提出的方法

• 开发针对独立 Rademacher 变量高次多项式的新型集中与反集中技术。
• 使用高阶矩方法与分解技术控制多项式形式的尾部概率。
• 将主要的反集中结果应用于分析布尔函数的复杂性，特别是奇偶函数与 OR 函数。
• 将反集中不等式转化为随机图中子图计数分布的结构性结果。
• 利用 Rademacher 变量的对称性与不变性性质，将线性结果推广至多项式设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性形式的反集中不等式能否推广至独立 Rademacher 变量的任意次数多项式？
• RQ2 此类多项式最紧致的反集中不等式是什么？
• RQ3 这些不等式如何用于推导计算奇偶函数的近最优下界（在计算模型中）？
• RQ4 固定图在随机 Erdős–Rényi 图中的副本数分布为何？如何对其进行有界？
• RQ5 这些结果能否解决关于 OR 函数及其计算复杂性的开放问题？

主要发现

• 本文为独立 Rademacher 随机变量的任意次数多项式建立了精确的反集中不等式，推广了 Littlewood-Offord 定理。
• 证明了计算奇偶函数的近最优下界，解决了 Razborov 与 Viola 提出的挑战。
• 为 Erdős–Rényi 随机图中任意固定图的副本数提供了通用的反集中不等式。
• 分析得出了子图计数集中程度的新定量界，表明其不会在均值附近强烈集中。
• 该框架通过推导出的反集中性质，解决了复杂性理论中与 OR 函数相关的开放问题。