[论文解读] Anti-concentration in most directions

Anup Rao, Amir Yehudayoff|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 20

一句话总结

本文建立了关于超立方体 ${\pm 1\}^n$ 上两个独立随机向量内积的精确反集中界限，表明对于大多数方向 $x$，$\langle x,Y\rangle = k$ 对任意固定 $k$ 的概率至多为 $O(1/\sqrt{n})$。该结果在集合 $A$ 和 $B$ 满足温和大小条件时成立，并通过加法组合学与调和分析工具，将经典反集中结果推广至非结构化和非均匀设置。

ABSTRACT

We prove anti-concentration bounds for the inner product of two independent random vectors. For example, we show that if $A,B$ are subsets of the cube $\{\pm 1\}^n$ with $|A| \cdot |B| \geq 2^{1.01 n}$, and $X \in A$ and $Y \in B$ are sampled independently and uniformly, then the inner product $\langle X, Y angle$ takes on any fixed value with probability at most $O( frac{1}{\sqrt{n}})$. Extending Halász work, we prove stronger bounds when the choices for $x$ are unstructured. We also describe applications to communication complexity, randomness extraction and additive combinatorics.

研究动机与目标

• 建立当 $X$ 和 $Y$ 独立且在子集 $A, B \subseteq \{\pm 1\}^n$ 上均匀分布时，内积 $\langle X,Y\rangle$ 的强反集中界限。
• 确定即使分布非均匀或具有结构时，反集中仍成立的条件。
• 刻画反集中失败的“坏”方向 $x$ 的集合，表明此类方向呈指数稀少。
• 通过加法组合学工具，将 Halász 型反集中结果推广至非均匀分布和非结构化集合。
• 将该框架应用于通信复杂性、随机性提取和加法组合学中的问题。

提出的方法

• 基于方向向量 $x$ 的加法结构以及 $A \subset \mathbb{Z}^n$ 的双立方表示中差值 $d_j = u_j - v_j$ 的灵活框架。
• 定义 $D(\theta) = \sum_{j \in G} \sin^2(2\pi \theta d_j)$ 以衡量可能发生集中现象的“坏”角度集合。
• 应用马尔可夫不等式和 $D(\theta)$ 的矩界，控制 $D(\theta)$ 较小的概率，从而将其与 $\langle x,Y\rangle$ 的集中性联系起来。
• 在 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上应用 Kemperman 定理（或 Kneser 定理）于和集，以界定满足 $D(\theta) \leq \rho$ 的 $\theta$-集合的测度，从而实现 $\rho$ 的衰减估计。
• 引入弱 Sidon 集的概念以捕捉非结构化差值集合，从而获得更强的反集中界限。
• 结合概率论与调和分析技术及加法组合学，推导出对大多数方向 $x$ 的 $O(1/\sqrt{n})$ 点态集中界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子集 $A, B \subseteq \{\pm 1\}^n$ 满足何种条件下，内积 $\langle X,Y\rangle$ 对 $X \in A$，$Y \in B$ 显示出反集中性？
• RQ2 存在多少条“坏”方向 $x$，使得 $\max_k \Pr[\langle x,Y\rangle = k]$ 显著大于 $O(1/\sqrt{n})$？
• RQ3 当 $Y$ 上的分布非均匀时，只要 $X$ 和 $Y$ 独立且集合足够大，是否仍可恢复反集中性？
• RQ4 差值 $d_j = u_j - v_j$ 的加法结构在决定反集中界限强度方面起何种作用？
• RQ5 弱 Sidon 集与非结构化差值集合相比结构化或重复差值，如何改善反集中性？

主要发现

• 对任意 $\beta > 0$ 和 $\delta > 0$，若 $|B| = 2^{\beta n}$，则对 $\{\pm 1\}^n$ 中除至多 $2^{n(1 - \beta + \delta)}$ 个方向 $x$ 外，所有方向均有 $\max_k \Pr[\langle x,Y\rangle = k] \leq O(1/\sqrt{n})$。
• 该界限 $O(1/\sqrt{n})$ 是紧的，因为它与经典 Littlewood-Offord 界一致，即使在 $A = B = \{\pm 1\}^n$ 时也成立，表明该结果是最优的。
• 当所有差值 $d_j$ 互不相同时，集中概率衰减快于 $O(1/\sqrt{n})$，在温和条件下可达到 $O(1/n^{1/2 + \Omega(1)})$。
• 对于差值的弱 Sidon 集，集中概率被限制在 $O(1/\sqrt{n})$ 内，且坏方向的数量减少至 $2^{n(1 - \beta + \delta)}$，表明对非结构化集合具有鲁棒性。
• 该框架即使在 $Y$ 不服从均匀分布时仍能恢复反集中性，前提是 $X$ 和 $Y$ 独立且集合 $A, B$ 足够大。
• 基于矩界与 Kemperman 定理在和集上的证明技术，可对“坏”角度 $\theta$ 的测度实现定量控制，从而导致集中概率的指数衰减。