[论文解读] Anti-invariant Riemannian maps from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了从几乎殆复流形到黎曼流形的反不变黎曼映射，作为反不变黎曼子丛的推广，建立了诱导叶状结构的几何性质，并证明了源流形的分解定理。关键结果是：从凯勒流形到黎曼流形的每个全纯调和拉格朗日黎曼映射都是全测地的。

ABSTRACT

As a generalization of anti-invariant Riemannian submersions, we introduce anti-invariant Riemannian maps from almost Hermitian manifolds to Riemannian manifolds. We give examples and investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of an anti-Riemannian map. Then we give a decomposition theorem for the source manifold of such maps. We also find necessary and sufficient conditions for anti-invariant Riemannian maps to be totally geodesic and show that every pluriharmonic Lagrangian Riemannian map, which is a special anti-invariant Riemannian map, from a Kähler manifold to a Riemannian manifold is totally geodesic.

研究动机与目标

• 通过从几乎殆复流形到黎曼流形引入反不变黎曼映射，推广反不变黎曼子丛。
• 研究此类映射的核与水平分布所诱导的叶状结构的几何性质。
• 在反不变黎曼映射下，建立源流形的分解定理。
• 推导此类映射为全测地的必要与充分条件。
• 证明从凯勒流形到黎曼流形的每个全纯调和拉格朗日黎曼映射都是全测地的。

提出的方法

• 将反不变黎曼映射定义为光滑映射 $ F: (M, g_M, J) \to (N, g_N) $，满足 $ J(ker F_*) \subseteq (ker F_*)^\perp $，从而推广反不变子丛。
• 使用分解 $ TM = ker F_* \oplus \mathcal{H} $，其中 $ \mathcal{H} = (ker F_*)^\perp $，且 $ TN = range F_* \oplus (range F_*)^\perp $，确保 $ F $ 是常秩的子浸入。
• 应用水平限制 $ F^h_*: \mathcal{H} \to range F_* $ 为线性等距映射的条件，满足对所有 $ X,Y \in \mathcal{H} $ 有 $ g_M(X,Y) = g_N(F_*X, F_*Y) $。
• 分析第二基本形式 $ \nabla F_* $，并利用全纯调和性条件 $ (\nabla F_*)(X,Y) + (\nabla F_*)(JX,JY) = 0 $，其中 $ X,Y \in \Gamma(ker F_*) $。
• 通过秩定理和凯勒结构证明 $ ker F_* $ 的可积性，从而得出 $ \nabla F_* $ 在 $ ker F_* \times \mathcal{H} $ 上消失，意味着全测地性。
• 应用扭曲积分解定理，表明若 $ M_1 $ 局部同构于扭曲积 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $，则不存在此类拉格朗日黎曼映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 反不变黎曼映射的核与水平分布所诱导的叶状结构具有何种几何结构？
• RQ2 在何种条件下，反不变黎曼映射的源流形可分解为扭曲积？
• RQ3 在何种条件下，反不变黎曼映射是全测地的？
• RQ4 从凯勒流形到黎曼流形的每个全纯调和拉格朗日黎曼映射是否必然为全测地？
• RQ5 是否存在一种拉格朗日黎曼映射，其定义域为形如 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $ 的局部扭曲积流形？

主要发现

• 反不变黎曼映射通过允许 $ F_* $ 的像为 $ TN $ 的真子空间（即 $ (range F_*)^\perp \neq \{0\} $）推广了反不变黎曼子丛。
• 若水平与垂直分布可积且满足曲率条件，则反不变黎曼映射的源流形可分解为扭曲积 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $。
• 反不变黎曼映射为全测地的必要与充分条件是第二基本形式 $ \nabla F_* $ 在 $ ker F_* \times ker F_* $ 上消失。
• 每个从凯勒流形到黎曼流形的全纯调和拉格朗日黎曼映射都是全测地的，因为 $ \nabla F_* $ 在 $ ker F_* \times ker F_* $、$ ker F_* \times \mathcal{H} $ 和 $ \mathcal{H} \times ker F_* $ 上均消失。
• 若源流形局部等距同构于扭曲积 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $，则从凯勒流形到黎曼流形不存在拉格朗日黎曼映射，这是由于可积性与曲率障碍。
• 核分布 $ ker F_* $ 的可积性由秩定理及 $ F $ 为常秩子浸入的性质保证，这对分解与全测地性结果至关重要。