[论文解读] Anti-invariant Riemannian Submersions from Kenmotsu Manifolds onto Riemannian manifolds

Ayşe Beri, İrem Küpeli Erken+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究从 Kenmotsu 流形到黎曼流形的反不变黎曼子流形，证明当特征向量场 ξ 为竖直时，此类子流形不存在。本文提出一种从扭曲积流形构造水平共形子流形的方法，并给出显式例子，其中 ξ 为水平（黎曼子流形情形）或竖直（共形子流形情形），展示了几何可积性与叶状结构的性质。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study anti-invariant Riemannian submersions from Kenmotsu manifolds onto Riemannian manifolds. Several fundamental results in this respect are proved. The integrability of the distributions and the geometry of foliations are investigated. We proved that there do not exist (anti-invariant) Riemannian submersions from Kenmotsu manifolds onto Riemannian manifolds such that characteristic vector field ξ is a vertical vector field. We gave a method to get horizontally conformal submersion examples from warped product manifolds onto Riemannian manifolds. Furthermore, we presented an example of anti-invariant Riemannian submersions in the case where the characteristic vector field ξ is a horizontal vector field and an anti-invariant horizontally conformal submersion such that ξ is a vertical vector field.

研究动机与目标

• 研究从 Kenmotsu 流形到黎曼流形的反不变黎曼子流形的存在性及其几何性质。
• 分析由此类子流形诱导的分布的可积性及叶状结构的几何性质。
• 确定在何种条件下特征向量场 ξ 在这些子流形中为水平或竖直。
• 构造反不变黎曼子流形与水平共形子流形的显式例子，特别是利用扭曲积结构。
• 将反不变子流形的研究从几乎殆复流形扩展到 Kenmotsu 结构。

提出的方法

• 利用 Kenmotsu 流形的局部扭曲积结构，特别是 M ≅ I ×_f N，其中 f(t) = se^t。
• 应用 Kenmotsu 流形的 Levi-Civita 联络与曲率性质，推导子流形的几何约束。
• 采用反不变黎曼子流形的定义，要求 φ(ker F*) ⊂ (ker F*)⊥。
• 利用扭曲积度量 g = dt² + f²g_L，通过与纤维因子的黎曼子流形复合，构造水平共形子流形。
• 应用典范投影 π₂: M₁ ×_f M₂ → M₂，并与黎曼子流形 f₁: M₂ → M₃ 复合，生成 f₂ = f₁∘π₂。
• 通过秩最大化与水平分布的共形性条件验证子流形性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当特征向量场 ξ 为竖直时，从 Kenmotsu 流形到黎曼流形的反不变黎曼子流形是否存在？
• RQ2 在从 Kenmotsu 流形出发的反不变黎曼子流形中，分布 ker F* 与 (ker F*)⊥ 的可积性条件是什么？
• RQ3 如何构造特征向量场 ξ 为水平的反不变黎曼子流形的显式例子？
• RQ4 当 ξ 为竖直时，能否构造反不变水平共形子流形？它们表现出何种几何性质？
• RQ5 Kenmotsu 流形的扭曲积结构在生成此类子流形中起什么作用？

主要发现

• 当特征向量场 ξ 为竖直时，从 Kenmotsu 流形到黎曼流形的反不变黎曼子流形不存在，原因在于与非恒定扭曲函数 f(t) = se^t 矛盾。
• 扭曲积结构 M ≅ I ×_f N 且 f(t) = se^t 使得 M 无法成为黎曼积，而这是当 ξ 为竖直时所必需的。
• 提供了一种方法，可从扭曲积流形 M₁ ×_f M₂ 构造水平共形子流形 f₂ = f₁∘π₂ 到黎曼流形 M₃，其中 f₁: M₂ → M₃ 为黎曼子流形。
• 构造了一个显式反不变黎曼子流形的例子，其中 ξ 为水平，满足 φ(V₁) = -H₁ 且 φ(V₂) = -H₂，分别对应竖直与水平向量。
• 给出一个反不变水平共形子流形的显式例子，其中 ξ 为竖直，满足 φ(V₁) = H₂，φ(V₂) = H₁，φ(V₃) = 0，且满足共形条件，共形因子为 f²(p)。
• 分析了叶状结构的几何性质与分布的可积性，表明在所构造的例子中，水平分布 (ker F*)⊥ 是可积的。