[论文解读] Anti-Invariant Riemannian Submersions from Sasakian Manifolds

İrem Küpeli Erken, Cengizhan Murathan|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文从Sasakian流形到Riemann流形引入了反不变Riemann子丛，建立了此类子丛为全测地线和调和的充要条件。主要贡献在于通过特定张量的消失来刻画这些性质：全测地线性条件为$τ_V\phi W = 0$，调和性条件为$ \text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$，在正交分布为$\phi\ker F_* \oplus \{\xi\}$的条件下。

ABSTRACT

We introduce anti-invariant Riemannian submersions from Sasakian manifolds onto Riemannian manifolds. We survey main results of anti-invariant Riemannian submersions defined on Sasakian manifolds. We investigate necessary and sufficient condition for an anti-invariant Riemannian submersion to be totally geodesic and harmonic. We give examples of anti-invariant submersions such that characteristic vector field ξ is vertical or horizontal.

研究动机与目标

• 定义并研究从Sasakian流形到Riemann流形的反不变Riemann子丛。
• 确定此类子丛为全测地线的必要且充分条件。
• 建立子丛为调和的条件，将调和性与张量场的迹联系起来。
• 提供具体例子，其中特征向量场$\\xi$为垂直或水平。
• 将Riemann子丛理论扩展至Sasakian设定，尤其关注反不变分布。

提出的方法

• 通过要求水平分布关于几乎接触结构$\\phi$不变来定义从Sasakian流形出发的反不变Riemann子丛，其中$\xi$可能为垂直或水平。
• 利用O'Neill张量$\mathcal{T}$与$\mathcal{A}$分析子丛的几何性质，特别是第二基本形式与可积性。
• 通过分析所有$W,V\\in\\Gamma(\ker F_*)$与$X\\in\\Gamma((\ker F_*)^\\perp)$的$\mathcal{T}_{W}\phi V$与$\mathcal{A}_{X}\phi W$的消失性，推导全测地线的条件。
• 通过迹条件$\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$（对所有$V\\in\\Gamma(\ker F_*)$）建立调和性，将调和性与纤维的极小性联系起来。
• 利用Sasakian结构$\phi$、$\xi$、$\eta$与度量$g_M$，推导涉及$\nabla$、$\mathcal{H}$与$\mathcal{V}$投影的张量恒等式。
• 应用恒等式$\mathcal{T}_V\phi W = \phi \mathcal{T}_V W$，将纤维的曲率与调和性条件联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从Sasakian流形出发的反不变Riemann子丛是全测地线的？
• RQ2 在何种条件下此类子丛是调和的，这与纤维的几何有何关联？
• RQ3 特征向量场$\xi$（垂直或水平）的位置如何影响子丛的几何性质？
• RQ4 水平分布的$\phi$-不变性在子丛的可积性与曲率中起何种作用？
• RQ5 O'Neill张量$\mathcal{T}$与$\mathcal{A}$在Sasakian设定下如何约束反不变子丛的几何？

主要发现

• 从$M(\phi,\xi,\eta,g_M)$到$(N,g_N)$的反不变Riemann子丛$F$是全测地线当且仅当对所有$W,V\\in\\Gamma(\ker F_*)$与$X\\in\\Gamma((\ker F_*)^\\perp)$，有$\mathcal{T}_W\phi V = 0$与$\mathcal{A}_X\phi W = 0$。
• 子丛是调和的当且仅当对所有$V\\in\\Gamma(\ker F_*)$，有$\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$，这等价于纤维为极小的。
• 对所有垂直向量场$V,W$，恒等式$\mathcal{T}_V\phi W = \phi \mathcal{T}_V W$成立，将$\phi$的作用与第二基本形式联系起来。
• 当$\ker F_*^\\perp = \phi\ker F_* \oplus \{\xi\}$时，子丛是全测地线当且仅当对所有$V,W\\in\\Gamma(\ker F_*)$，有$\mathcal{T}_V\phi W = 0$，从而简化了判别条件。
• 子丛是全测地线当且仅当水平分布是全测地线的，这等价于对所有$X\\in\\Gamma((\ker F_*)^\\perp)$与$V,W\\in\\Gamma(\ker F_*)$，有$g_N((\nabla F_*)(V,\phi X), F_*\phi W) = 0$。
• 子丛是调和的当且仅当纤维的平均曲率向量场消失，这等价于$\sum_{i=1}^k \mathcal{T}_{e_i}e_i = 0$，且这与$\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$等价。