[论文解读] Anti-self-dual bihermitian structures on Inoue surfaces

Akira Fujiki, Massimiliano Pontecorvo|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文通过受唐纳森和弗里德曼启发的扭量方法，证明了双曲型与抛物型伊奈乌表面（包括其抗 canonical 系统非空的小变形）上存在反自对偶双厄米结构。此外，本文在半伊奈乌表面上构造了一族反自对偶厄米度量，从而给出了 VII₀⁺ 类中广义凯勒与局部共形凯勒结构的新例子。

ABSTRACT

We show that any hyperbolic Inoue surface (or Inoue-Hirzebruch surface of even type) admits anti-self-dual bihermitian structures. The same result also holds for any of its small deformations as far as its anti-canonical system is non-empty. Similar results are obtained for parabolic Inoue surfaces. Our method also yields anti-self-dual hermitian metrics on any half Inoue surface. We use the twistor method of Donaldson-Friedman for the proof.

研究动机与目标

• 证明双曲型与抛物型伊奈乌表面上存在反自对偶双厄米结构，这些是 VII₀⁺ 类的紧致复曲面。
• 将此结果推广至这些曲面的小变形，只要其抗 canonical 系统非空。
• 在不具双厄米结构的半伊奈乌表面上构造反自对偶厄米度量。
• 证明这些构造可产生新的（扭曲）广义凯勒与局部共形凯勒结构。
• 提供一个已知结果的局部逆定理，表明对双曲型与抛物型伊奈乌表面，反自对偶双厄米结构存在的拓扑与几何条件是充分的。

提出的方法

• 将唐纳森与弗里德曼的扭量方法适配，以构造与伊奈乌表面上反自对偶度量相关的扭量空间。
• 以 mℙ² 上的乔伊思扭量空间作为基础模型，对其进行修改以获得具有自然抗 canonical 除子的奇异模型。
• 分析对偶对 (Ẑ, Ŝ) 中奇点的局部结构，并计算奇异模型的自同构群。
• 应用对 Kuranishi 对偶对 (S, S̃) 的变形理论，证明奇异扭量空间的光滑化过程无障碍。
• 使用对数层 Ω_X(log Y) 与 Θ_X(−log Y) 研究除子及其变形的几何性质。
• 构造主构造的扭曲版本，以在半伊奈乌表面上得到反自对偶厄米度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲型伊奈乌曲面是否具有反自对偶双厄米结构？
• RQ2 抗 canonical 系统非空的双曲型伊奈乌曲面的小变形是否也具有此类结构？
• RQ3 抛物型伊奈乌曲面及其小变形是否具有反自对偶双厄米结构？
• RQ4 能否使用相同的扭量框架在半伊奈乌曲面上构造反自对偶厄米度量？
• RQ5 这些曲面上构造出的度量是否为广义凯勒或局部共形凯勒度量？

主要发现

• 任意双曲型伊奈乌曲面均存在一个实 m 维族的反自对偶双厄米结构，其中 m 为第二贝蒂数。
• 只要抗 canonical 系统非空，该结果对任意双曲型伊奈乌曲面的小变形也成立。
• 具有非连通抗 canonical 除子的抛物型伊奈乌曲面及其小变形也具有反自对偶双厄米结构。
• 任意适当 blown-up 的半伊奈乌曲面均存在一个实 m 维族的反自对偶厄米度量。
• 在（blown-up）双曲型、抛物型及半伊奈乌曲面上构造的所有度量均为（扭曲）广义凯勒与局部共形凯勒度量。
• 这些是 VII₀⁺ 类中紧致复曲面上此类结构的首个已知例子，除勒布伦对抛物型伊奈乌曲面的早期结果外。